1) Найдем радиус круга, полученного в сечении плоскостью. Он вычисляется по формуле
Сокращаем обе части на
r=40 дм.
Смотрим на рис. 1
Расстоянием от центра до плоскости будет отрезок ОМ=9 дм, перпендикулярный любой прямой на этой плоскости, в том числе и радиусу сечения r=АМ=40 дм. Рассмотрим треугольник ОМА. Он прямоугольный. Заметим, что ОА - радиус шара. По теореме Пифагора ОА - гипотенуза, остальные катеты известны.
OA=41 дм.
Ответ: радиус шара равен 41 дм.
2) Перепишем уравнение, выделяя полные квадраты
Так как уравнение сферы в общем виде записывается следующим образом
где (a; b; c) - центр сферы, R - радиус сферы,
то центром данной сферы будет (1;2; -1), радиус R=4.
3) Площадь сектора вычисляется по формуле
В данноом случае S=1, .
По условию требуется найти только . Подставляем значения в формулу
А если в градусах и минутах, то
4) Рассмотрим рисунок 4. Так же как и первой задаче получаем прямоугольный теугольник ОМА. Теперь гипотенуза (радиус шара ОА) равна 15 см. Расстояние до плоскости равно ОМ=8 см. Надо по теореме Пифагора найти радиус сечения шара плоскостью альфа. В данном случаае МА.
Так как сечением будет круг, а радиусом этого круга будет МА, то площадь этого круга вычисляется по формуле
см
Ответ: см
5) Рассмотрим рисунок 5. Заметим, что треугольник, образованный точками А, В и С на шаре будет прямоугольным. Докажем это.
Выполняется тождество.
Заметим, что центр описанной окружности у прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы. То есть радиус сечения плоскости, образованной тремя точками А,В и С равен половине гипотенузы АВ, то есть 10 см. Обозначим за М - середину АВ. МВ=10 см. Рассмотрим треугольник ОМВ. Он прямоугольный, так как ОМ - перпендикулярна плоскости трех точек А, В, и С. Заметим, что ОВ=26 см по условию задачи. по теореме Пифагора найдем ОМ - расстояние от центра шара до плоскости трех точек А,В и С
OM=24 см.
Ответ: 24 см.