∠A = α + β
Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°, значит
∠D = 180° - (α + β).
Площадь параллелограмма равна произведению двух сторон на синус угла между ними:
S = AB · AD · sinA.
∠ACD = ∠ВАС = α как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых АВ и CD секущей АС.
Из ΔADC по теореме синусов:
d : sinD = CD : sinβ = AD : sin∠ACD
Так как CD = AB, получаем:
d : sinD = АВ : sinβ = AD : sinα
sinD = sin(180° - (α + β)) = sin(α + β) - по формуле приведения.
Из равенства d : sinD = АВ : sinβ выразим АВ:
<u>AB</u> = d · sinβ / sinD <u>= d · sinβ / sin(α + β)</u>
Из равенства d : sinD = AD : sinα выразим AD:
<u>AD</u> = d · sinα / sinD <u>= d · sinα / sin(α + β)</u>
S = (d · sinβ / sin(α + β)) · (d · sinα / sin(α + β)) · sinA =
= (d² · sinα · sinβ / sin²(α + β)) · sin(α + β) =
= d² · sinα · sinβ / sin(α + β)