Question

Диагональ равнобедренной трапеции равна 50 см, средняя линия — 48 см. Определи расстояние между основаниями трапеции.

Answer 1

Хорошая задача, заставляющая тряхнуть стариной и вспомнить некоторые трюки, полезные при работе с трапецией.

Трапеция ABCD; AD - большее основание, внизу; BC - меньшее основание, наверху. Перенесем диагональ BD на величину верхнего основания. Другими словами, через точку С проводим прямую, параллельную BD, до пересечения с продолжением AD в точке E. Получился равнобедренный треугольник ACE с боковыми сторонами, равными диагоналям трапеции, то есть AC=CE=50; при этом основание треугольника равно сумме оснований трапеции, то есть удвоенной средней линии; AE=96.
Расстояние между основаниями трапеции равно высоте этого треугольника, найдем ее. Поскольку высота CF равнобедренного треугольника ACE, опущенная на его основание, является также медианой, можем найти CF из прямоугольного треугольника ACF с помощью теоремы Пифагора:

CF^2=AC^2-AF^2=50^2-48^2=4(25^2-24^2)=
4(25-24)(25+24)=4·49=(14)^2⇒CF=14

Замечание. Многие наряду с самым известным прямоугольным треугольником с целыми сторонами (египетским: 3-4-5) знают и несколько других, одним из них является треугольник 7-24-25, стороны которого в 2 раза меньше сторон нашего. Заметив это, можно было избежать применение теоремы Пифагора (впрочем, не знаю, что сказала бы на этот счет Ваша учительница)