Задача на клетчатой бумаге. Какова площадь треугольника?
На клетчатой бумаге размером клетки 1 × 1 изображен треугольник. Найдите его площадь.
3 ответа:
Читайте также
Белка Сэнди,
давайте возьмем окружность
и впишем в нее два одинаковых таких треугольника
Ясно, что радиус описанной окружности R = 2h, и
треугольник СОС1 ― равносторонний, в котором все три угла равны по 60°, откуда угол АВС = 60°/4 = 15°, а угол ВАС = 75°
Итак, имеем пять шаров расположенных по кругу. Их центры представляют вершины пятиугольника со стороной 2R. А радиус описанной вокруг него окружности есть радиус расположения центров этих шаров, что рассчитывается по стандартной формуле.
Поскольку все точки контакта внутреннего шара расположены по окружности, то при расчете его радиуса, для картинки, не имеет значение количество шаров в наружной обойме. Поэтому для красоты картинки, приму их четным числом.
Рассмотрим треугольник АВС. Его стороны будут представлять сумму и разность радиусов внутреннего и наружных шаров, а также радиуса центров наружных шаров.
Далее весь расчет с картинки.
Получили радиус 0,7236
Если произвести все подстановки, то формула приобретает следующий вид.
Где R и n радиус и количество шаров в наружной обойме, соответственно.
Если говорить конкретно о пяти шарах, то
Формулы окружностей подтвердили правильность расчета.
При увеличении числа шаров в наружной обойме, радиус внутреннего шара тоже будет увеличиваться. Так при n=6 все шары будут одного диаметра. А вот при n= 11 радиус внутреннего шара будет приближен к числу пи.
Из формулы радиуса внутреннего шара следует что при двух наружных шарах (немножко уйду от условия задачи), радиус внутреннего будет равен 1/4 от наружных.
В итоге получается, что для каждого количества шаров будет свой коэффициент. Интересно, можно ли рассчитать радиус внутреннего шара без инженерного калькулятора? Распределение коэффициентов напоминает ветвь параболы. Попробуем подобрать квадратное уравнение более или менее удовлетворяющее данной зависимости.
Как видно, максимальное отклонение чуть больше чем одна сотая присутствует для трех шаров. Для других значений n, погрешность еще меньше. Вполне приемлемо для рядовых расчетов.
