Начнем сразу со 2й задачи. См рисунок во вложении. Равнобедренный треугольник АВС, BN - высота, опущенная на основание, поскольку треугольник равнобедренный, по совместительству, она же медиана (делит основание пополам ) и она биссектриса угла β. Обозначим углы при основании AC α, угол, образованный боковыми сторонами β, длину основания AC=a, длины боковых сторон AB=BC=b.
Рассмотрим получившийся "малый" прямоугольный треугольник ABN. Катет BN по условию равен половине гипотенузы AB т.е. BN=AB/2=b/2. Второй катет AN равен половине длины основания AC , <em>
a/2</em>. По теореме Пифагора
![AB^2=BN^2+AN^2](https://tex.z-dn.net/?f=AB%5E2%3DBN%5E2%2BAN%5E2)
т.е.
![b^2= (\frac{b}{2})^2+ (\frac{a}{2})^2=\frac{b^2}{4}+ (\frac{4 \sqrt{3} }{2})^2 =\frac{b^2}{4}+ 4 \cdot 3=\frac{b^2}{4}+ 12](https://tex.z-dn.net/?f=b%5E2%3D+%28%5Cfrac%7Bb%7D%7B2%7D%29%5E2%2B+%28%5Cfrac%7Ba%7D%7B2%7D%29%5E2%3D%5Cfrac%7Bb%5E2%7D%7B4%7D%2B+%28%5Cfrac%7B4+%5Csqrt%7B3%7D+%7D%7B2%7D%29%5E2+%3D%5Cfrac%7Bb%5E2%7D%7B4%7D%2B+4+%5Ccdot+3%3D%5Cfrac%7Bb%5E2%7D%7B4%7D%2B+12)
Получилось уравнение с одим неизвестным b.
![b^2= \frac{b^2}{4}+ 12](https://tex.z-dn.net/?f=b%5E2%3D+%5Cfrac%7Bb%5E2%7D%7B4%7D%2B+12)
Решаем его
![4b^2= b^2+ 48](https://tex.z-dn.net/?f=4b%5E2%3D+b%5E2%2B+48)
![4b^2- b^2= 48](https://tex.z-dn.net/?f=4b%5E2-+b%5E2%3D+48)
![3b^2= 48](https://tex.z-dn.net/?f=3b%5E2%3D++48)
![b= \sqrt{ \frac{48}{3}}= \sqrt{16} =4](https://tex.z-dn.net/?f=b%3D+%5Csqrt%7B+%5Cfrac%7B48%7D%7B3%7D%7D%3D+%5Csqrt%7B16%7D+%3D4)
Далее можно просто воспользоваться утверждением: "Катет, лежащий против угла в 30° равен половине гипотенузы". Отсюда следует, что α=30°
Можно и так:
![sin( \alpha )= \frac{BN}{AB} = \frac{b/2}{b} = \frac{1 }{2}](https://tex.z-dn.net/?f=sin%28+%5Calpha+%29%3D+%5Cfrac%7BBN%7D%7BAB%7D+%3D+%5Cfrac%7Bb%2F2%7D%7Bb%7D+%3D+%5Cfrac%7B1+%7D%7B2%7D)
![\alpha =arcsin( \frac{ 1}{2}) =30^o](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Calpha+%3Darcsin%28+%5Cfrac%7B+1%7D%7B2%7D%29+%3D30%5Eo)
Или так:
![cos( \alpha )= \frac{AN}{AB} = \frac{a/2}{b} = \frac{2 \sqrt{3} }{4} = \frac{ \sqrt{3}}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=cos%28+%5Calpha+%29%3D+%5Cfrac%7BAN%7D%7BAB%7D+%3D+%5Cfrac%7Ba%2F2%7D%7Bb%7D+%3D+%5Cfrac%7B2+%5Csqrt%7B3%7D+%7D%7B4%7D+%3D+%5Cfrac%7B+%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B2%7D+)
![\alpha =arccos ( \frac{ \sqrt{3}}{2}) =30^o](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Calpha+%3Darccos+%28++%5Cfrac%7B+%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B2%7D%29+%3D30%5Eo)
Тогда β=180°-2α=180-60=120°.
Ответ2: Боковая сторона AB=b=4. Углы α=30°, β=120°
Рисунок к 1й задаче уже есть. Если дополнительных построений не делать, сойдет и такой. Способов просматривается несколько можно например так.
Поскольку треугольник равнобедренный, углы при основании AC равны и угол BCA равен (180-β)/2. Обзначим его α (Что бы в формулах его "тягать" было удобней)
Из прямоугольного треугольника ADC гипотенуза AC равна
![AC=h \cdot sin( \alpha)=h \cdot sin( (180- \beta )/2)=h \cdot sin( 90- \frac{ \beta }{2})](https://tex.z-dn.net/?f=AC%3Dh+%5Ccdot+sin%28+%5Calpha%29%3Dh+%5Ccdot+sin%28+%28180-+%5Cbeta+%29%2F2%29%3Dh+%5Ccdot+sin%28+90-+%5Cfrac%7B+%5Cbeta+%7D%7B2%7D%29)
Воспользовавшись формулами "ПРИВЕДЕНИЯ"
![AC=h \cdot sin( 90- \frac{ \beta }{2})=h \cdot cos( \frac{ \beta }{2})](https://tex.z-dn.net/?f=AC%3Dh+%5Ccdot+sin%28+90-+%5Cfrac%7B+%5Cbeta+%7D%7B2%7D%29%3Dh+%5Ccdot+cos%28+%5Cfrac%7B+%5Cbeta+%7D%7B2%7D%29)
Ответ1: AC=h·cos(β/2)