Question

1. Найдите производную данной функции

а)f(x)=-2x^4+(1/3x^6)-1

б)f(x)=(2/x^4)+x

в)f(x)=3sinx

скобки не нужны это я поставил чтобы вам было ясней что входит в состав дроби

2. Найдите производную функции f и вычислите её значение в указанной точке

а)f(x)=cos(3x-п/4) x=п/4

б)f(x)=(x^2-2)/(x) x=-1

3. Найдите точки, в которых производная данной функции равна нулю

а)f(x)=корень из 2*cosx+x

б)f(x)=x^4-2x^2

Answer 1

1)
а) $f(x)=-2x^4+ \frac{1}{3} x^6-1$
$f'(x)=(-2x^4+ \frac{1}{3} x^6-1)'=-2*4x^3+6* \frac{1}{3} x^5=-8x^3+2x^5$
б) $f(x)= \frac{2}{x^4} +x=2x^{-4}+x$
$f'(x)=(2x^{-4}+x)'=-4*2x^{-5}+1=-8x^{-5}+1= -\frac{8}{x^5}+1$
в) $f(x)=3sinx$
$f'(x)=(3sinx)'=3cosx$
2)
а) $f(x)=cos(3x- \frac{ \pi }{4} )$
$f'(x)=(cos(3x- \frac{ \pi }{4} ))'=-sin(3x- \frac{ \pi }{4} )*(3x- \frac{ \pi }{4} )'=-3sin(3x- \frac{ \pi }{4} )$
$x= \frac{ \pi }{4}$
$f( \frac{ \pi }{4} )=-3sin( \frac{ 3\pi }{4} - \frac{ \pi }{4} )=-3sin \frac{ \pi }{2}=-3*1=-3$
б) $f(x)= \frac{ x^{2} -2}{x}$
$f'(x)=( \frac{ x^{2} -2}{x} )'= \frac{(x^2-2)'*x-x'(x^2-2)}{x^2} = \frac{2x^2-x^2+2}{x^2} = \frac{x^2+2}{x^2}$
$x=-1$
$f(-1)= \frac{(-1)^2+2}{(-1)^2} =3$
3)
а) $f(x)= \sqrt{2} cosx+x$
$f'(x)=( \sqrt{2} cosx+x)'=- \sqrt{2} sinx+1$
$f'(x)=0$
$- \sqrt{2} sinx+1=0$
$- \sqrt{2} sinx=-1$
$\sqrt{2} sinx=1$
$sinx= \frac{1}{ \sqrt{2} }$
$x=(-1)^narcsin \frac{1}{ \sqrt{2} }+ \pi n,$ $n$ ∈ $Z$
$x=(-1)^n \frac{ \pi }{4 }+ \pi n,$ $n$ ∈ $Z$
б) $f(x)=x^4-2x^2$
$f'(x)=(x^4-2x^2)'=4x^3-4x$
$f'(x)=0$
$4x^3-4x=0$
$4x(x^2-1)=0$
$4x(x-1)(x+1)=0$
$x=0$   или   $x=1$   или   $x=-1$

Answer 2

1. Найти производную данной функции:
a) $f'(x)=(-2x^4+ \frac{1}{3} x^6-1)'=-8x^3+2x^5$
б) $f'(x)=\bigg( \dfrac{2}{x^4} \bigg+x\bigg)^\big{'}=- \dfrac{8}{x^5} +1$
в) $f'(x)=(3\sin x)'=3\cos x$

2. Найти производную в заданной точке
а) $f'(x)=(\cos(3x- \frac{\pi}{4} ))'=-\sin (3x- \frac{\pi}{4})\cdot (3x- \frac{\pi}{4})'=-3\sin(3x- \frac{\pi}{4})$
Вычислим значение производной в точке х=п/4
$f'( \frac{\pi}{4} )=-3\sin(3\cdot \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4})=-3$

б) $f'(x)=( \frac{x^2-2}{x})'=(x- \frac{2}{x} )'=1+ \frac{2}{x^2}$
Вычислим значение производной в точке x=-1
$f'(-1)=1+ \frac{2}{(-1)^2} =3$

3. Найти точки, в которых производная равна нулю
a) $f'(x)= -\sqrt{2} \sin x+1$
$f'(x)=0;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \sin x= \frac{1}{\sqrt{2} } \\ x=(-1)^k\cdot \frac{\pi}{4}+\pi k,k \in \mathbb{Z}$

б) $f'(x)=(x^4-2x^2)'=4x^3-4x$
$f'(x)=0\\ 4x^3-4x=0\\ 4x(x^2-1)=0\\ x_1=0\\ x_2_,_3=\pm 1$