Question

Решите уравнение: а) х²+3х-1+√х²+3х-9 = 0 б) х²+2х-11+√х²+2х-1 = 0 выражения √х²+3х-9 и √х²+2х-1 под корнем

Answer 1

$a)~~ x^2+3x-1+ \sqrt{x^2+3x-9}=0\\ \\ (\sqrt{x^2+3x-9})^2+\sqrt{x^2+3x-9} +8=0$
Пусть $\sqrt{x^2+3x-9} =t(t \geq 0)$, тогда получим
$t^2+t+8=0$
$D=b^2-4ac=1-4\cdot1\cdot8\ \textless \ 0$
Поскольку D<0, то квадратное уравнение действительных корней не имеет.

$b)~~ x^2+2x-11+ \sqrt{x^2+2x-1} =0\\ \\ (\sqrt{x^2+2x-1} )^2+\sqrt{x^2+2x-1} -10=0$
Пусть $\sqrt{x^2+2x-1} =t~(t \geq 0)$, тогда получим
$t^2+t-10=0\\ D=b^2-4ac=1^2-4\cdot1\cdot(-10)=41\\ \\ t_1= \dfrac{-1+ \sqrt{41} }{2}$

$t_2= \dfrac{-1- \sqrt{41} }{2}$ - не удовлетворяет усл при t≥0

Возвращаемся к обратной замене.
$\sqrt{x^2+2x-1} =\dfrac{-1+ \sqrt{41} }{2}\\ \\ (x+1)^2-2= \dfrac{42-2 \sqrt{41} }{4} \\ \\ (x+1)^2= \dfrac{21-\sqrt{41}}{2} +2\\ \\ x=\pm \sqrt{ \dfrac{25-\sqrt{41}}{2} }-1$