Question

В Прямоугольном параллелепипеде АВСДА1В1С1Д1 АВ=АА1=а, АД=2а. На сребрах СС1 и АД взяты соответственно точки P и Q - такие, что CP:CC1=AQ:AD =1:3, а на ребрах АВ и А1В1 взяты соответственно точки R и V- середины этих ребер. Найти расстояние между В1С1 и а) PQ б)PR в)PV

Answer 1

Давайте, я всё таки для точки V покажу, как делать. Пусть M на ВВ1, и BM = CP; то есть PM II B1C1. Прямая В1С1 II плоскости PMV. Расстояние между прямыми PV и B1C1 - это расстояние от любой точки прямой B1C1 до плоскости PMV. Проще всего найти расстояние от В1 до VM, то есть высоту к гипотенузе прямоугольного треугольника B1VM c катетами B1V = a/2 и B1M = 2a/3; (к слову, это "египетский" треугольник, но это случайность, в двух других случаях ничего "египетского" нет :) ) Легко найти VM = 5a/6; и нужное расстояние равно (a/2)*(2a/3)/(5a/6) = 2a/5;
Для точки R все так же просто. RM пересекает продолжение А1В1 в точке Е, и легко найти что ВЕ = а; (из подобия RMB и B1EM); MB1 = 2a/3; отсюда ME = a√13/3; и высота В1МЕ равна a*(2a/3)/(a√13/3) = 2a/√13;

Для точки Q этим же способом легко найти ответ 2a/√10; я покажу, как это находится с помощью векторно-координатного метода. 
Любая прямая полностью задается вектором вдоль неё и одной точкой, через которую она проходит. 
С другой стороны, расстояние между не параллельными прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями, каждая из которых содержит одну из этих прямых (такая пара плоскостей всегда есть и всегда только одна, если прямые не параллельны и не пересекаются). 
Плоскость задается однозначно точкой, через которую она проходит и нормальным вектором (то есть вектором, перпендикулярным плоскости). Если плоскости параллельны, у них - очевидно - один и тот же нормальный вектор. Поэтому задача стоит такая - надо найти вектор, перпендикулярный направляющим векторам обеих прямых. Такой вектор отлично известен - это векторное произведение направляющих векторов. 
Таким образом, нормальный вектор обеих параллельных плоскостей строится так - берутся две точки на одной прямой и на другой, строятся два вектора вдоль прямых, находится их векторное произведение и нормируется (то есть делится на свой модуль). Получился единичный вектор, перпендикулярный обеим прямым - и обеим плоскостям, содержащим скрещивающиеся прямые. Теперь, чтобы найти расстояние между двумя этими плоскостями, достаточно взять любые две точки на разных плоскостях, построить вектор с началом в одной точке и концом в другой, и скалярно умножить на построенный единичный вектор (то есть найти проекцию отрезка, соединяющего две произвольные точки двух параллельных плоскостей на прямую, перпендикулярную обеим плоскостям). 
Выполнение этой программы действий для прямых В1С1 и PQ выглядит так.
B1C1 = (2a,0,0); QP = (4a/3,a,a/3);
векторное произведение B1C1XQP = (0,-1,3)*(2a^2/3); (я вынес общий множитель за скобки, так как для вычисления единичного вектора n = B1C1XQP/IB1C1XQPI его можно просто отбросить.
n = (0, -1/√10, 3/√10); 
теперь можно взять любой (еще раз - любой в смысле любой) вектор с началом на одной плоскости и концом на другой и скалярно умножить на n, получится ответ (знак при этом не имеет значения, нужна абсолютная величина).
PB1 = (2a, 0, -2a/3); откуда сразу ответ 2a/√10;