Пусть данные точки имеют следующие координаты:
А( х₁ ; у₁ )
В( х₂ ; у₂ ).
Проведем перпендикуляры из точек А и В к осям координат.
АС = x₂ - x₁
BC = y₂ - y₁
Из прямоугольного треугольника АВС по теореме Пифагора:
AB = √(AC² + BC²)
АВ = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)
Формула для вычисления расстояния между точками в пространстве выводится аналогично.
АВ = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²)
Предварительные вычисления.
Радиус вписанной окружности основания
r = √3/6·a
Радиус описанной окружности
R = √3/3·а
Площадь основания
S = √3/4·a²
а) Сечение параллельно основанию через середину высоты.
Треугольник этого сечения подобен треугольнику основания с коэффициентом подобия k = 0,5
Площадь сечения относится с площадью основания как k²
s₁ = S·k² = S/4 = √3/16·a²
б) Сечение проходит через боковое ребро и высоту
Основание треугольника сечения r+R, высота h
Площадь
s₂ = 1/2(r+R)h = 1/2(√3/6·a+√3/3·a)h = 1/2√3/2·ah = √3/4·ah
в) сечение <span>через сторону основания перпендикулярно противоположному боковому ребру
В треугольнике из прошлого пункта и в текущем высота h</span>₃<span> общая (на рисунке синяя). Найдём ей через площадь треугольника из прошлого пункта.
Нам нужна длина бокового ребра пирамиды
l</span>² = h²+R² = h²+a²/3
l = √(h²+a²/3)
s₂ = 1/2 h₃l
√3/4·ah = 1/2 h₃√(h²+a²/3)
√3/2·ah = h₃√(h²+a²/3)
h₃ = √3·ah/(2√(h²+a²/3))
s₃ = 1/2·h₃a = √3·a²h/(4√(h²+a²/3)) = 3a²h/(4√(3h²+a²))
<span>г) сечение через центр основания параллельно боковой грани
</span>Треугольник этого сечения параллелен и подобен боковой грани пирамиды с коэффициентом подобия k = R/(R+r) = 2/3
Найдём плошадь боковой стороны
Её высота (синяя)
l² = h²+r² = h²+3/36·a² = h²+a²/12
l = √(h²+a²/12)
площадь боковой стороны
s = 1/2·al = 1/2·a√(h²+a²/12)
площадь сечения
s₄ = k²s = 4/9·1/2·a√(h²+a²/12) = 2/9·a√(h²+a²/12)
<span>д) Сечение через середины четырех ребер
Такое сечение можно построить только проходящим через середины двух рёбер основания и двух боковых рёбер
Сечение имеет форму четырёхугольника (или равносторонняя трапеция или прямоугольник)
Нижнее ребро b</span>₁ - средняя линия основания, его длина
b₁ = a/2
<span>Боковое
b</span>₂ и b₄ - средняя линия боковой грани и в два раза короче бокового ребра, длину его вычисляли раньше √(h²+a²/3)
b₂ = b₄ = (√(h²+a²/3))/2
верхнее ребро b₃ - средняя линия боковой грани, проведённая параллельно основанию, его длина
b₃ = a/2
<span>Итого - у нас прямоугольник с площадью
s</span>₅ = a/2·(√(h²+a²/3))/2 = (a√(h²+a²/3))/4<span>
</span>
В ΔABC проводим радиус вписанной окружности OH, в пирамиде - апофему DH.
ОH считаем по формуле радиуса вписанной в правильный треугольник окружности (r=a√3/6), по теореме Пифагора находим DH.
Площадь боковой поверхности пирамиды равна шести площадям прямоугольного треугольника DHC (св-во правильной пирамиды) с катетами HC=AC/2=3 и DH=5.
Ответ: 45
При пересечении 2х примых образуется 2 пары так называемых "вертикальных углов". они попарно равны и в сумме дают 360°
итого: искомый угол 1/2(360-2*126)=54°
