Пусть х - коэффициент пропорциональности, тогда 2х - диагональ 1, 3х - диагональ 2
2х + 3х = 25
5х = 25
х = 5
д1 = 5*2 = 10 см
д2 = 5*3 = 15см
S ромба = 1/2 д1*д2
S = 1*10*15 / 2 = 75 см^2
усеченная пирамида АВСА1В1С1, АВС равносторонний треугольник со стороной=6, А1В1С1 равносторонний треугольник со стороной=2, проводим высоты ВН и В1Н1=медианам=биссектрисам, точки О и О1 - пересечение медиан - центры треугольников, ОО1-высота пирамиды,
ВН=АВ*√3/2=6√3/2=3√3, В1Н1=А1В1*√3/2=2√3/2=√3, при пересечении медианы делятся в отношении 2:1 начиная от вершины, ВО=2/3*ВН=2/3*3√3=2√3, В1О1=2/3В1Н1=2√3/3
в прямоугольной трапеции ОО1В1В из точки В1 проводим высоту В1К на ВО, ОО1В1К прямоугольник, ОК=В1О1=2√3/3, ОО1=В1К, ВК=ВО-ОК=2√3-2√3/3=4√3/3,
треугольник В1ВК прямоугольный, уголВ1ВК=60, В1К=ВК*tg60=4√3/3*√3=4=ОО1 - высота пирамиды
1. В равнобедренном треугольнике АВС угол при вершине С=120° (так как равные углы при основании равны по 30°, а сумма внутренних углов треугольника равнв 180°). Значит основание Н перпендикуляра ВН из точки В к стороне АС будет лежать на продолжении стороны АС.
В прямоугольном треугольнике CНВ (<H=90°) угол НСВ (смежный с углом С треугольники АВС) равен 180°-120°=60°. Тогда <HBC=30° и катет СН=5 (половина гипотенузы СВ).
По Пифагору ВН=√(ВС²-НС²)=√(10²-5²)=√75см. Тогда в прямоугольном треугольнике ВКН гипотенуза НК - расстояние от точки К до прямой АС (перпендикуляр к АС по теореме о трех перпендикулярах).
По Пифагору НК=√(ВН²-ВК²)=√(75+150)=15см.
Ответ: НК=15см.
2. 1) Точка М равноудалена от вершин треугольника,значит расстояния от основания перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость АВС также равны. Следовательно, проекция Н точки М на плоскость АВС находится в середине гипотенузы АВ треугольника АВС и отрезок МН, принадлежащий плоскости АМВ, перпендикулярен плоскости АВС.Следовательно, плоскость АМВ перпендикулярна плоскости АВС, что и требовалось доказать.
2) Угол между плоскостями - двугранный угол - измеряется линейным углом, то есть углом, образованным пересечением двугранного угла с плоскостью, перпендикулярной к его ребру.Проведем плоскость МНР перпендикулярно ребру СВ двугранного угла между плоскостями АВС и СМВ. Для этого опустим перпендикуляр НР на прямую СВ и соединим точки М и Р. В прямоугольном треугольнике МРН <MPH - искомый угол, тангенс которого равен отношению МН/НР.
Гипотенуза АВ=4√2см (по Пифагору). Тогда СН=НВ=АН=2√2см.
НР- высота в равнобедренном треугольнике СНВ и НР=СН*НВ/СВ (свойство). НР=(2√2)*(2√2)/4=2см.
Tgα=МН/НР=2√3/2=√3. α=arctg√3 = 60°.
Ответ: угол равен 60°.
3) Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость. Значит искомый угол - угол МСН, тангенс которого равен отношению МН/СН или tgβ=2√3/2√2 =√1,5. Угол β=arctg√1,5 ≈ 50,5°
Или так: по Пифагору МС=√(МН²+СН²)=√20=2√5см.
Тогда Sinβ = МН/МС=2√3/2√5 =√0,6. β=arcsin0,77 ≈ 50,5°.
Ответ: угол равен arcsin√0,6 ≈ 50,5°.
3***. Расстояние от середины стороны АВ до плоскости ВМС - это перпендикуляр НТ из прямого угла МНР (точка Н совпадает с точкой Е) к гипотенузе МР треугольника МРН. по свойству он равен
НТ=МН*НР/МР. МР=√(МН²+НР²)=√(12+4)=4. Тогда НТ=2√3*2/4=√3.
Ответ: расстояние равно √3.
1) Из ΔМРN (угол P=90 град) MN= PN\cosβ
МР=b·tgβ
Рассмотрим ΔРКN ( угол К=90 град) KN\PN=cosβ KN=PN·cosβ
2) АВСД ---параллелограмм , ВК---высота.
Рассмотрим ΔАВК (угол К=90 град) : ВК=АВ·sin60=6·√3\2=3√3
В1. ΔАВС : угол С=90
АС=АВ·cosα BC=AB·sinα
ΔADC угол D=90град
AD=AC·cosα
B2. АВСД ---параллелограмм, ВК---высота , из ΔАВК ( угол К=90 град)
ВК=АВ·sinα=4·sin45=4·√2\2=2√2