Точно сказать, откуда пошло выражение как "устал как собака", вряд ли возможно. Но скорее всего, это связано с собаками, на которых ездят, которых запрягают в нарты.
Особенно ярко это описано в цикле рассказов Джека Лондона о золотоискателях Аляски. Там собачьи упряжки были обычным делом. Вереница из нескольких собак везла путешественников и их нехитрый скарб по заснеженным просторам.
Естественно, что эти собаки смертельно устают. Особенно мне запомнился эпизод из какого-то рассказа, когда погонщики бьют собак из всех сил хлыстом, чтобы поднять их на ноги и продолжить путь. Однако они просто визжат, но не двигаются - так сильно устали.
Они падают в изнеможении и не двигаются после длительного перехода. Рядом могут бежать собаки незапряженные, то есть которые не тянут груз. Их меняют на тех, которые устали.
Я так понял, что животным может быть очень тяжело. С удивлением недавно узнал о лошадях. Бабушка мне рассказывала, что раньше не каждая лошадь с их села могла пройти 40 километров до райцентра. Не пробежать - а пройти! Могла и сдохнуть. Лошадь, прошедшую этот путь специально выгуливали, выпаивали, чтоб она восстановила силы. Так что пословица "лошадиное здоровье" очень и очень сомнительная. А что уж теперь говорить про собак!