Question

Запишите комплексное число в стандартной тригонометрической форме : a)2+2√3i б) -3-2i

Answer 1

a) Обозначим $z=2+2\sqrt{3}i$. Тогда найдем модуль комплексного числа: $|z|=\sqrt{2^2+(2\sqrt{3})^2}=4$

$z=2+2\sqrt{3}i=4\bigg(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\bigg)~~~\boxed{=}$

Так как cosa > 0 и sina > 0 то α ∈ I четверти и α = π/3

$\boxed{=}~~~4\bigg(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\bigg)$ - тригонометрическая форма.

б) $z=-3-2i$

Модуль комплексного числа: $|z|=\sqrt{(-3)^2+(-2)^2}=\sqrt{13}$

$z=-3-2i=\sqrt{13}\bigg(-\dfrac{3}{\sqrt{13}}-\dfrac{2}{\sqrt{13}}i\bigg)~~~\boxed{=}$

Так как cos a, sina < 0, то $\alpha=\pi+{\rm arctg}\bigg|\dfrac{-2}{3}\bigg|=\pi+{\rm arctg}\dfrac{2}{3}$

$\boxed{=}~~~\sqrt{13}\bigg[\cos\bigg(\pi +{\rm arctg}\dfrac{2}{3}\bigg)+i\sin\bigg(\pi+{\rm arctg\dfrac{2}{3}}\bigg)\bigg]$