Question

Правильный треугольник спроектирован на плоскость,вершины его отстоят от плоскости на расстоянии 10дм. 15дм и 17дм.
Найдите расстояние от его центра до плоскости проекций.
Чертеж обязателен.

Answer 1

ABC - равносторонний треугольник. $A_1B_1C_1$ - его проекция на плоскость P. $AA_1=10,\;BB_1=15,\;CC_1=17$.
Отложим на перпендикулярах отрезки $B_1M=C_1N=AA_1=10$ дм. Тогда BM = 15-10 = 5 дм, CM = 17-10 = 10 дм.
Точка О - центр ABC, т.е. точка пересечения его медиан. Медиана правильного треугольника ABC делится точкой O в соотношении AO:OD = 2:1, откуда AO:AD = 2:3
Опустим из точки D перпендикуляр на плоскость в точку $D_1$. Этот перпендикуляр разделит отрезок NM пополам. Значит $AD_2$ медиана треугольника $AMN$.
Отрезок $DD_2$ - средняя линия трапеции BCNM. Его длина $\frac12(BM+CN)=\frac12(7+5)=\frac12\cdot12=6$ дм.
Треугольники $AOO_2\;u\;ADD_2$ подобны по первому признаку: $\angle A$ - общий, $\angle O_2=\angle D_2=90^o$.
Тогда 
$OO_2:DD_2=AO:AD$
$OO_2:6=2:3\RightarrowOO_2=6\cdot2:3=4$ дм.
Учитывая вышеизложенное, получаем 
$OO_1=OO_2+O_1O_2=4+10=14$ дм.

Ответ: 14 дм.