1)
![1+ \frac{1}{x}= \frac{x+1}{x}; \frac{1}{ \frac{x+1}{x} }= \frac{x}{x+1}; 1+ \frac{x}{x+1}= \frac{2x+1}{x+1}; \frac{1}{ \frac{2x+1}{x+1} }= \frac{x+1}{2x+1}](https://tex.z-dn.net/?f=1%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%3D%20%5Cfrac%7Bx%2B1%7D%7Bx%7D%3B%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%20%5Cfrac%7Bx%2B1%7D%7Bx%7D%20%7D%3D%20%5Cfrac%7Bx%7D%7Bx%2B1%7D%3B%201%2B%20%5Cfrac%7Bx%7D%7Bx%2B1%7D%3D%20%5Cfrac%7B2x%2B1%7D%7Bx%2B1%7D%3B%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%20%5Cfrac%7B2x%2B1%7D%7Bx%2B1%7D%20%7D%3D%20%5Cfrac%7Bx%2B1%7D%7B2x%2B1%7D%20%20%20%20%20%20%20%20)
3)Идея состоит в домножении дроби на сопряженное со знаменателем выражение (для каждой дроби - отдельно), в результате все корни будут сокращаться
![\frac{1}{ \sqrt{2}+1 }= \frac{ \sqrt{2}-1 }{( \sqrt{2} )^2-1^2}= \frac{ \sqrt{2}-1 }{1}; \frac{1}{ \sqrt{3} + \sqrt{2} }= \frac{ \sqrt{3}- \sqrt{2} }{1}... \frac{1}{ \sqrt{100}+ \sqrt{99} }= \frac{ \sqrt{100}- \sqrt{99} }{1}](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%20%5Csqrt%7B2%7D%2B1%20%7D%3D%20%5Cfrac%7B%20%5Csqrt%7B2%7D-1%20%7D%7B%28%20%5Csqrt%7B2%7D%20%29%5E2-1%5E2%7D%3D%20%5Cfrac%7B%20%5Csqrt%7B2%7D-1%20%7D%7B1%7D%3B%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%20%5Csqrt%7B3%7D%20%2B%20%5Csqrt%7B2%7D%20%7D%3D%20%5Cfrac%7B%20%5Csqrt%7B3%7D-%20%5Csqrt%7B2%7D%20%20%7D%7B1%7D...%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%20%5Csqrt%7B100%7D%2B%20%5Csqrt%7B99%7D%20%20%7D%3D%20%5Cfrac%7B%20%5Csqrt%7B100%7D-%20%5Csqrt%7B99%7D%20%20%7D%7B1%7D%20%20%20%20%20%20%20)
. Это задание нацеливает ученика на работу с похожими конструкциями и заставляет его выявлять определенные закономерности, в итоге после сложения получим
![\frac{-1+ \sqrt{100} }{1}= \frac{-1+10}{1}= \frac{9}{1}=9](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B-1%2B%20%5Csqrt%7B100%7D%20%7D%7B1%7D%3D%20%5Cfrac%7B-1%2B10%7D%7B1%7D%3D%20%5Cfrac%7B9%7D%7B1%7D%3D9%20%20%20)
. Вот мы и проверили равенство, всё, как написано.
4)Придётся несколько раз возводить всё в квадрат, но тут только в одном месте встречается переменная, так что это не особо страшно, хотя выбора у нас нет.
![\sqrt{1+ \sqrt{2+ \sqrt{x} } } =2; 1+ \sqrt{2+ \sqrt{x} }=4; \sqrt{2+ \sqrt{x} }=3;2+ \sqrt{x} =9; \\ \sqrt{x} =7; x=49.](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Csqrt%7B1%2B%20%5Csqrt%7B2%2B%20%5Csqrt%7Bx%7D%20%7D%20%7D%20%3D2%3B%201%2B%20%5Csqrt%7B2%2B%20%5Csqrt%7Bx%7D%20%7D%3D4%3B%20%20%5Csqrt%7B2%2B%20%5Csqrt%7Bx%7D%20%7D%3D3%3B2%2B%20%5Csqrt%7Bx%7D%20%3D9%3B%20%5C%5C%20%20%5Csqrt%7Bx%7D%20%3D7%3B%20x%3D49.%20%20)
Подстановкой корня в исходное уравнение убеждаемся, что всё в порядке.
5)Отцу был 31 год, ребенку 8 лет, тогда через
![x](https://tex.z-dn.net/?f=x)
лет отцу стало 31+x, ребенку стало 8+x лет. И в этот возраст ребенку в 2 раза меньше лет, чем отцу. Пусть y=количество лет, которое стало ребёнку, 2y - количество лет, которое стало отцу. Получим систему
![-\left \{ {{31+x=2y} \atop {8+x=y}} \right.; 23=y; y=23](https://tex.z-dn.net/?f=%20-%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7B31%2Bx%3D2y%7D%20%5Catop%20%7B8%2Bx%3Dy%7D%7D%20%5Cright.%3B%2023%3Dy%3B%20y%3D23)
, это как раз то, что нужно найти. Ответ: стало 23 года "ребенку".
6)Обозначим v - любой знак неравенства.
![244^{21}v79^{26}; 244^{21}v79^{21}*79^5; ( \frac{244}{79} )^{21}v79^5](https://tex.z-dn.net/?f=244%5E%7B21%7Dv79%5E%7B26%7D%3B%20244%5E%7B21%7Dv79%5E%7B21%7D%2A79%5E5%3B%20%28%20%5Cfrac%7B244%7D%7B79%7D%20%29%5E%7B21%7Dv79%5E5)
. Частное от деления 244 на 79 чуть больше 3, сравним 3 в степени 21 и 79 в степени 5, очевидно, что "тройка" в 21 больше, т.е.
![79^{26}\ \textless \ 244^{21}](https://tex.z-dn.net/?f=79%5E%7B26%7D%5C%20%5Ctextless%20%5C%20244%5E%7B21%7D)