1^3+2^3+...+n^3=(1+2+...+n)^2
n=1: 1=(1)^2=1 - верно для n=1
n=k: 1^3+2^3+...+k^3=(1+2+...+k)^2
Рассмотрим сумму 1+2+3...+k - сумма арифметической прогрессии
1+2+3+...+k=(1+k)k/2
1^3+2^3+...+k^3=(k+1)^2*k^2/4
n=k+1: 1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3=(k+2)^2*(k+1)^2/4
Вернемся к n=k и прибавим к нему соответствующее значение (k+1), то есть (k+1)^3:
1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3=(k+1)^2*k^2/4 + (k+1)^3 = (k+1)^2 (k^2/4 + k+1) = (k+1)^2*(k^2+4k+4)/4=(k+1)^2*(k+2)^2/4
Теперь сравните этот результат с результатом n=k+1
Итак, методом математической индукции мы доказали, что исходное выражение верно для любого значения n
Пусть х метров дороги ремонтировала каждый день вторая бригада,
тогда (х + 1) метр дороги ремонтировала каждый день первая бригада.
Вторая бригада закончила работу в днях:
Первая бригада закончила работу в днях:
- второй корень не подходит, значит, вторая бригада ремонтировала по 4 метра дороги каждый день.
4 + 1 = 5 (м) - дороги ремонтировала каждый день первая бригада.
Ответ: 5 метров дороги в день ремонтировала первая бригада; 4 метра дороги в день ремонтировала вторая бригада.
1) Есть выражения для синуса и косинуса двойного угла через тангенс.
sin 2a = 2tg a/(1+tg^2 a) = 2(-3/4) / (1+9/16) = -(3/2) / (25/16) = -24/25
cos 2a = (1-tg^2 a)/(1+tg^2 a) = (1-9/16) / (1+9/16) = (7/16) / (25/16) = 7/25
2) Раскрываем синус суммы
sin (5pi/6 + 2a) = sin(5pi/6)*cos(2a) + cos(5pi/6)*sin(2a) =
= 1/2*7/25 + (-√3/2)(-24/25) = (7 + 24√3)/50
<em>1 кот за 10 минут съест 20/10=2 /рыбки/</em>
<em>а один кот одну рыбку съест за 10/2=5/мин./</em>
<em>один кот за 1 кот за 100 минут съест 100/5=20/рыбок/</em>
<em>сто коров за 100 минут съедят 20*100=2000 /рыбок./</em>