1.
Обозначим радиусы окружностей, соответствуюх их центрам, как:
и
Тогда мы можем составить систему уравнений:
Наибольшим является радиус окружности, построенной около центра A.
О т в е т : A .
2.
Исходя из того, что в любом треугольнике сумма углов равна
легко понять, что
Для любого треугольника верно, что отношение любой его стороны к синусу противолежащего угла – постоянно, тогда:
[1]
Проведём
так, чтобы
Тогда
Опять же из соотношения синусов:
[2]
Перемножим выражения [1] и [2]:
[3]
Учитывая, что:
и
а значит:
и
получим из выражения [3] :
Это как раз и позволит разрешить поставленный вопрос.
т.е.: NA : NB = 1 : 2 = CA : CM .
По Теореме Фалеса, пропорциональные отрезки на сторонах треугольника отсекаются параллельными прямыми, а значит:
О т в е т :