Вопрос не так прост, как на первый взгляд кажется, ибо в глаголе ПРОСИ́ТЬ, как и в его собратьях по морфологическому классу слов смотре́ть, копа́ть, броса́ть и др., а также их производных попроси́ть, вы́просить, посмотре́ться и пр. (таких производных с безударным корнем много у каждого из названных глаголов) и иных образованных от них частей речи (проше́ние, смотри́ны, копа́ние и пр.), корни с чередующейся гласной и в безударном положении во всех этих корнях мы пишем буковку О, как и в изучающихся в школах наших (российских и других постсоветских стран) корнях твор-//твар-, гор-//гар-, клон-//клан-. Естественно, что в положении ударном мы пишем то, что слышим:
- напроси́ться – про́сит, напра́шиваться;
- присмотре́ться – просмо́тр, высма́тривая;
- вы́копать, копа́тельный – ко́пка, выка́пывающий;
- броса́ющий – бро́шенный, перебра́сываться.
Но в школе нас учат эти и им подобные корни проверять ударением и даже не упоминают о существующем в них чередовании:
- вы́просить – спрос;
- насмотре́ться – надсмо́трщик;
- вы́копанный – раско́пка;
- броса́ющийся – сбро́сить.
И лишь в старших классах, когда учеников уже окончательно отучили открывать учебники русского языка для изучения теоретического материала и правил, в книге в. Ф. Грекова и прочих его соавторов для 10-11 классов упоминается, что для проверки безударных гласных в корнях не используются глаголы вида несовершенного с суффиксами -ИВА- (-ЫВА-) и их особые формы, так как именно в этих словах появляется ударная А в корне: переспра́шивать, пересма́тривающий, зака́пывая, набра́сывается и пр.
Так что правописание глагола ПРОСИТЬ мы можем регулировать двумя правилами:
- правилом чередования О//А, по коему в слабой (то бишь безударной) позиции пишем в корне ПРОС-//ПРОШ-//ПРАС-//ПРАШ- только О;
- правилом проверки гласной корневой ударением (с учетом того, что все лексемы и их словоформы, в коих имеется суффикс -ИВА- (-ЫВА-), исключаются из числа слов проверочных).
Согласно второму правилу, мы и подбираем к глаголу ПРОСИТЬ слова проверочные:
- словоформы этого же глагола: про́сишь, про́сит, про́сим и т.п.;
- лексемы однокоренные: про́сьба, расспро́с, спро́шенный, опро́с, опро́сный, опро́сник и пр.