Боковая сторона равна малому основанию, т.к. накрест лежащие углы при основаниях равны.
Периметр равен 22, малая сторона а, проекция боковой стороны на основание (22 - 4a)/2 = 11 - 2a
рассмотрим два прямоугольных треугольника, образованных высотой, проекцией боковой стороны на основание и для малинового - диагональю, для красного - боковой стороной.
Для малого
tg (β) = 3x/(11-2a)
Для большого
tg (2β) = 7x/(11-2a)
Разделим одно уравнение на другое
tg (2β)/tg (β) = (7x/(11-2a)) / (3x/(11-2a))
tg (2β)/tg (β) = 7/3
---
по формуле тангенса половинного угла
tg (2β) = 2*tg (β) / (1 - tg² (β))
---
2*tg (β) / (1 - tg² (β)) /tg (β) = 7/3
1 - tg² (β) = 6/7
tg² (β) = 1/7
tg (β) = 1/√7
tg (2β) = 2*tg (β) / (1 - tg² (β)) = 2/√7 / (1 - (1/√7)²) = 2/√7 * 7/6 = √7/3
---
выразим косинус двойного угла через тангенс β
cos (2β) = (1 - tg² (β)) / (1 + tg² (β)) = (1 - 1/7) / (1 + 1/7) = 6/7 / 8/7 = 3/4
Косинус двойного угла - это отношение проекции боковой стороны к боковой стороне
cos (2β) = (11-2a)/a = 3/4
44 - 8a = 3a
44 = 11a
a = 4
Это малое основание
Большое основание
b = 22 - 3*a = 22 - 12 = 10
Средняя линия
c = 1/2(a+b) = 1/2(4+10) = 7
1) Треугольник подобен с коэффициентом √3 другому треугольнику - со сторонами 1, √2, √5. Кажется, что все равно ничего хорошего не получилось :), но если взять прямоугольный треугольник с катетами 1 и 1, то гипотенуза будет √2, а если катеты 1 и 2, то гипотенуза √5. Поэтому заданный треугольник получается из треугольника с катетами 1 и 2, если в нем провести медиану к большему катету. Ясно, что площадь треугольника 1, √2, √5 равна 1*1/2 = 1/2, а площадь исходного в 3 раза больше, то есть 3/2;
Благодаря этой "находке" известен и синус угла против стороны √6, он равен 1/√5; отсюда R = √6/(2/√5) = √30/2;
Для "прикола" - вот как это считается по всяким формулам
По формуле Герона
16*S^2 = (√3 + √6 + √15)*(√3 + √6 - √15)*(√3 - √6 + √15)*(- √3 + √6 + √15) =
((√3 + √6)^2 - 15)*(15 - (√6 - √3)^2)) = - 15^2 + 15*((√3 + √6)^2 + (√6 - √3)^2) - (6 - 3)^2 = 15*2*(3 + 6) - 15^2 - 3^2 = 15*18 - 15^2 - 9 = 36;
S^2 = 9/4; S = 3/2; конечно, так проще :))))
Радиус описанной окружности вычисляется по формуле R = abc/4S;
R = √3*√6*√15/(4*3/2) = √30/2;
2) Если G - точка пересечения медиан, то треугольник AGC имеет стороны 10, 8 и 14;
его площадь s по формуле Герона считается так
p = (10 + 8 + 14)/2 = 16; p - 10 = 6; p - 8 = 8; p - 14 = 2;
s^2 = 16*6*8*2 = 16^2*6; s = 16√6;
площадь треугольника ABC в 3 раза больше (а почему?), и равна
S = 48√6;
медиана треугольника AGC считается по известной формуле. Поскольку мне это скучно, я "дострою" AGC до параллелограмма AGCG1 где CG1 II AG; AG1 II CG; сумма квадратов сторон параллелограмма равна сумме квадратов диагоналей (а почему?),
то есть
(8^2 + 10^2)*2 = 14^2 + (2m/3)^2; где m - искомая медиана треугольника ABC
m = 3√33 :) странный такой ответ, но я мог и ошибиться в арифметике, проверяйте :)
3 стороны(все одинаковые по длине)
По Герону. Это площадь треугольника со сторонами d₁, d₂, 2m.
