Замечаем, что система является симметрической, то есть если x и y поменять в системе местами, то ничего абсолютно не изменится. Такую систему решаем заменой переменной. Пусть x + y = a, xy = b. Выразим x^3 + y^3 через a и b. Для этого вспомним формулу куба суммы.
(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3
Выражаем отсюда x^3 + y^3:
(x+y)^3 = x^3 + y^3 + 3xy(x + y)
x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y) = (x+y)((x+y)^2 - 3xy)
Учитывая, что x + y = a, xy = b, можно записать это же выражение в новых переменных:
x^3 + y^3 = a(a^2 - 3b)
Теперь просто перепишем систему с учётом замены:
ab = 8
a(a^2 - 3b) = 40
Во втором уравнении системы раскроем скобки:
a^3 - 3ab = 40
ab = 8, так что a^3 - 24 = 40
a^3 = 64
a = 4
Отсюда b = 8 / a = 8 / 4 = 2
Возвращаемся к старой переменной, получаем систему:
x + y = 4
xy = 2
Эту систему теперь решаем. Думаю, вполне ясно, что решать лучше способом подстановки:
y = 4 - x
x(4-x) = 2 (1)
(1) 4x - x^2 = 2
x^2 - 4x + 2 = 0
D = 16 - 8 = 8
x1 = (4 - 2 корня из 2) / 2 = 2 - корень из 2
x2 = 2 + корень из 2
Отсюда получаем ещё две системы уравнений:
x = 2 - корень из 2 или x = 2 + корень из 2
y = 4 - x y = 4 - x
Из первой системы получаем, что y = 4 - (2 - корень из 2) = 4 - 2 + корень из 2 = 2 + корень из 2
Из другой системы получаем, что y = 4 - (2 + корень из 2) = 4 - 2 - корень из 2 = 2 - корень из 2.
Таким образом, имеем две пары решений.
(2 - корень из 2; 2 + корень из 2) и (2 + корень из 2; 2 - корень из 2)
Как видите, две пары решений симметричны одна относительно другой, потому-то эта система и называется симметрической.
Ответ:
.........................
7х-4-3х+9=4х+5
4×(-2)+5=-3
Умножаем первое уравнение на 4.
Получим систему
{х+3-2(у+2)=0
{3х+у=1
{x-2y=1
{3x+y=1
Умножаем второе уравнение на 2
{x-2y=1
{6x+2y=2
Складываем
7х=3
х=3/7
у=1-3х=1-(9/7)=-2/7
О т в е т. (3/7; -2/7).
Ни один из приведенных ответов не удовлетворяет системе.
В этом можно убедиться подставив каждое значение в оба уравнения системы.
