Question

Отберите корни на промежутке $\sf\displaystyle 3(\log_8(\sin x))^2-\log_8(\sin x)-2=0$

$[-\frac{7\pi }{2};-2\pi]$

Answer 1

$3\, (log_8(sinx))^2-log_8(sinx)-2=0\\\\ODZ:\; \; sinx>0\; ,\; \; x\in (2\pi n;\pi +2\pi n)\\\\t=log_8(sinx)\; \; ,\; \; 3t^2-t-2=0\; \; ,\; \; D=25\; ,\; \; t_1=1\; ,\; t_2=-\frac{2}{3}\\\\a)\; \; log_8(sinx)=1\; \; \to \; \; sinx=8>1\; \; \Rightarrow \; \; x\in \varnothing \\\\b)\; \; log_8(sinx)=-\frac{2}{3}\; \; \to \; \; sinx=8^{-2/3}\; ,\; sinx=\frac{1}{\sqrt[3]{8^2}}\; ,\\\\sinx=\frac{1}{4}\; \; \Rightarrow \; \; x=(-1)^{n}arcsin\frac{1}{4}+\pi n=\left [ {{arcsin\frac{1}{4}+2\pi n,\; n\in Z} \atop {\pi -arcsin\frac{1}{4}}+2\pi n,\; n\in Z} \right.$

$c)\; \; x\in [-\frac{7\pi }{2};-2\pi \, ]:\; \; x=-3\pi -arcsin\frac{1}{4}$