Question

Решить как неопределенный.Дифференцировал по частям, получается какой-то бесконечный цикл.Может можно легче?

Answer 1

Cначала вычислим неопределённый интеграл, а уже потом , найдя первообразную, определённый.

$\int \frac{cos^2x}{e^{3x}} \, dx=\int e^{-3x}\cdot \frac{1+cos2x}{2} \, dx=\frac{1}{2}\cdot \int e^{-3x}\, dx+\frac{1}{2}\cdot \int e^{-3x} \cdot cos2x\, dx=\\\\=-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}e^{-3x}+\frac{1}{2}\cdot \underbrace {\int e^{-3x}\cdot cos2x\, dx}_{Q}=- \frac{1}{6}\cdot e^{-3x}+\frac{1}{2}\cdot Q\; .$

$Q=\int e^{-3x}\cdot cos2x\, dx=\Big [\, u=e^{-3x},\; du=-3e^{-3x}dx,\, dv=cos2x\, dx,\\\\v=\int dv=\frac{1}{2}sin2x\, \Big ]=uv-\int v\, du=\\\\=\frac{1}{2}e^{-3x}\, sin2x+\frac{3}{2}\int e^{-3x}sin2x\, dx=\\\\=\Big [\, u=e^{-3x},\; du=-3e^{-3x}\, dx,\; dv=sin2x\, dx,\; v=-\frac{1}{2}cos2x\, \Big ]=\\\\=\frac{1}{2}e^{-3x}sin2x+\frac{3}{2}\cdot \Big (-\frac{1}{2}e^{-3x}cos2x-\frac{3}{2}\int e^{-3x}cos2x\, dx\Big )=\\\\=\frac{1}{2}e^{-3x}sin2x-\frac{3}{4}e^{-3x}cos2x-\frac{9}{4}\underbrace {\int e^{-3x}cos2x\, dx}_{Q}.$

$Q=\frac{1}{2}e^{-3x}sin2x-\frac{3}{4}e^{-3x}cos2x-\frac{9}{4}\cdot Q\\\\Q+\frac{9}{4}\cdot Q=\frac{1}{2}e^{-3x}sin2x-\frac{3}{4}e^{-3x}cos2x\\\\\frac{13}{4}\cdot Q=\frac{1}{2}e^{-3x}sin2x-\frac{3}{4}e^{-3x}cos2x\\\\Q=\frac{2}{13}e^{-3x}sin2x-\frac{3}{13}e^{-3x}cos2x\\\\\\\int \frac{cos^2x}{e^{3x}}\, dx=-\frac{1}{6}e^{-3x}+\frac{1}{2}\cdot \Big (\frac{2}{13}e^{-3x}sin2x-\frac{3}{13}e^{-3x}cos2x\Big )=\\\\=e^{-3x}\cdot \Big (-\frac{1}{6}+\frac{1}{13}sin2x-\frac{3}{26}cos2x\Big )$

$\int\limits^a_b \frac{cos^2x}{e^{3x}} \, dx=e^{-3a}(-\frac{1}{6}+\frac{1}{13}sin2a-\frac{3}{26}cos2a)-\\\\-e^{-3b}\cdot (- \frac{1}{6}-\frac{1}{13}sin2b-\frac{3}{26}cos2b)$