Question

Найдите точки экстремума функции y=x^2e^x

Answer 1

Находим первую производную функции:
y' =( x^2)*(e^x) + 2x*(e^x)
или
y' = x(x+2)*(e^x)
Приравниваем ее к нулю:
x(x+2)*(e^x) = 0
x1 = - 2
x2 = 0
Вычисляем значения функции 
f(-2) = 4/(e^2)
f(0) = 0
Ответ:
fmin = 0, fmax = 4/(e^2)
Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:
y'' = (x^2)*(e^x) + 4x*(e^x) + 2*(e^x)
или
y'' = (x^2 + 4x + 2)*(e^x)
Вычисляем:
y''(-2) = -2/(e^2) < 0 - значит точка x = -2 точка максимума функции.
y''(0) = 2 > 0 - значит точка x = 0 точка минимума функции.