Так как <span>четырехугольник ABCD вписан в окружность, а диагонали AC и BC перпендикулярны, то эти диагонали делят заданный четырёхугольник на 4 прямоугольных треугольника.
Эти треугольники попарно подобны (по вертикальным углам при пересечении диагоналей) по равенству двух вписанных углов, опирающихся на равные дуги.
Обозначим точку пересечения диагоналей Е, центр описанной около четырёхугольника окружности О.
Из подобия треугольников АВЕ и ДЕС следует АЕ:ЕД = 3:4.
Примем коэффициент подобия у.
Тогда 8</span>² = (3у)² + (4у)²,
9у² + 16у² = 64,
25у² = 64,
у = √(64/25) = 8/5.
Получаем: АЕ = 3х = 24/5 = 4,8.
ДЕ = 4х = 32/5 = 6,4.
Угол АВД как вписанный равен (1/2) центрального угла АОД.
Синус <span> (1/2) центрального угла АОД равен (8/2)/(17/2) = 4/8,5 = </span><span>
0,470588. Угол АBД равен </span><span><span><span>
0,489957 радиан или </span>28,07249</span></span>°.
Косинус угла ЕАД = 4,8/8 = <span><span><span>
0,6.
</span><span>Угол ЕАД = 0,927295 радиан или
</span>
53,1301</span></span>°.
Угол АДЕ = 90° - <span>
53,1301 = </span><span>
36,8699</span>°.
По теореме синусов находим АB = AD*sin АДЕ / sin <span>АBД =
= 8*0,6/</span><span><span>0.470588 = 10,2.
Сторона ДС по заданию равна (4/3) АВ = (4/3)*10,2 = 13,6.
ВЕ = </span></span>√10,2²-4,8²) = √(<span>
104.04 -</span><span>
23.04) = </span>√81 = 9.
СЕ = √(13,6²-6,4²) = √(<span>
184.96 -
<span>40.96) = </span></span>√144 = 12.
ВС = √(9²+12²) = √(81+144) = √= 15.
Это тупой угол
так как если один внешний угол острый (<90) то другой тупой (>90)
отрезки касательных к окружности проведенные из одной точки равны и составляют равные углы с прямой проходящей через эту точку и центр окружности, значит МА=МВ. расстояние от точки M до хорды AB равное 9 есть перпендикуляр МН к хорде АВ, угол АМН=ВМН. НА=НВ=0,5АВ. Пусть АН=НВ=х. По теореме Пифагора МА=√x^2+81, MO=9+√400-x^2. Площадь треугольника МАО равна половине произведения его катетов МА и МО а также поделив пополам произведение гипотенузы на высоту к гипотенузе MO * AН / 2. составляем и приравниваем выражения для площади:√(x^2 + 9^2) * 20 = (9 +√(20^2 - x^2)) * x
Как икс нашли
раскрываем скобки, возводим обе части в квадрат
400 (x^2 + 81) = 81 x^2 + 18 x^2 sqrt(20^2 - x^2) + 400x^2 - x^4
400 x^2 - 81 x^2 - 400 x^2 + x^4 + 32400 = 18 x^2 sqrt(20^2 - x^2)
x^4 - 81 x^2 + 32400 = 18 x^2 sqrt(20^2 - x^2)
Снова возводим в квадрат
x^8 - 162*x^6 + 71361*x^4 - 5248800*x^2 + 1049760000 =129600*x^4 - 324* x^6
x^8 + 162 x^6 - 58239 x^4 - 5248800 x^2 + 1049760000 = 0
(x^4 + 81*x^2 - 32400)^2 = 0
Теперь уже решается биквадратное уравнение
t^2 + 81 t - 32400 = 0
t1,2 = (-81 +- sqrt(6561 + 4*32400))/2 = (-81 + - 369)/2
Отрицательный корень отбрасываем
t = 144
x = +- 12 Отрицательный корень снова не нужен
x = 12
AB =2x=24
Угол АВС - вписанный угол окружности, опирающийся на дугу АС, ∠АВС=52°. Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую этот угол опирается. Значит, дуга АС=2*52°=104°.
Угол DAC - угол, образованный касательной и хордой АС, проходящей через точку касания. Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами, то есть ∠DAC=104°:2=52° .
Вывод: ∠DAC=∠ABC=52°
A(8;-16)
b=2i-3j=(2;-3)
-1/4a=(-1/4•8;-1/4•(-16))=(-2;4)
3b=(3•2;3•(-3))=(6;-9)
c=-1/4•a+3b=(-2+6;4+(-9)=(4;-5)
длина с=√(4)^2+(-5)^2=√16+25=√41
ответ с=(4;-5)
длина с=√41