Угол В=180-70-55=55 следовательно он равнобедренный. основание BC
1. ABC прям, CD - высота ⇒ CD=√AD*DB
AD=AB-DB=10-6.4=3.6
CD=√3.6*6.4=√23.04=4.8
2. CDB прям ⇒ BC=√CD²+BD²=√4.8²+6.4²=√23.04+40.96=√64=8
3. ABC прям ⇒ AC=√AB²-BC²=√10²-8²=√100-64=√36=6
Треугольник АСD прямоугольный, тогда
;
Опустим высоту CH; AD=AH+HD; AH=BC;
из прямоугольного треугольника HCA;
AH=
;
Пусть M - середина АС.
Тогда ВM - медиана и высота правильного треугольника АВС.
SM - медиана и высота равнобедренного треугольника SAC.
ВM⊥АС, SM⊥AC, ⇒ ∠SMB = 60° - линейный угол двугранного угла наклона боковой грани к основанию.
Центр шара, вписанного в правильную пирамиду, лежит в точке пересечения высоты пирамиды и биссектрисы угла, образованного апофемой и ее проекцией на основание (в нашем случае - ∠SMH)
SH - высота пирамиды, МО - биссектриса ∠SMH. О - центр вписанного в пирамиду шара.
ОН = R - расстояние от центра шара до плоскости основания.
Проведем ОК⊥SM. АС⊥SMB (ВM⊥АС, SM⊥AC), значит ОК⊥АС, ⇒
ОК⊥SAC, т.е. ОК = R - расстояние от центра шара до грани SAC. К - точка касания.
ΔОМН: НМ = ОH / tg∠OMH = R / tg30° = R√3
НМ - радиус окружности, вписанной в правильный треугольник:
НМ = а√3/6
а√3/6 = R√3
a = 6R
ΔSHM: HM / SM = cos 60°
SM = HM / cos60° = R√3 / (1/2) = 2R√3
Sбок = 1/2 Pabc · SM = 1/2 · 3(6R) · 2R√3 = 18R²√3
Проведем КР⊥SH, Р - центр окружности, по которой поверхность шара касается боковой поверхности пирамиды. РК - ее радиус.
∠SKP = ∠SMH = 60° (соответственные при пересечении КР║МН секущей SM),
∠РКО = ∠SKO - ∠SKP = 90° - 60° = 30°
ΔPKO: cos ∠PKO = PK / KO
cos 30° = r / R
r = R√3/2
Длина окружности касания:
C = 2πr = 2π · R√3/2 = πR√3