![(1+x)^n=\Sigma_{k=0}^n (C_n^k*x^k)](https://tex.z-dn.net/?f=%281%2Bx%29%5En%3D%5CSigma_%7Bk%3D0%7D%5En+%28C_n%5Ek%2Ax%5Ek%29)
докажем методом математической индукции:
1) проверим для любого n. Пусть n=1
![(1+x)^1=\Sigma_{k=0}^1(C_1^k*x^k)=C_1^0*x^0+C_1^1*x^1=1+x](https://tex.z-dn.net/?f=%281%2Bx%29%5E1%3D%5CSigma_%7Bk%3D0%7D%5E1%28C_1%5Ek%2Ax%5Ek%29%3DC_1%5E0%2Ax%5E0%2BC_1%5E1%2Ax%5E1%3D1%2Bx)
2) пусть верно для n
докажем равенство для n+1
Для этого распишем данную сумму подробнее:
![(1+x)^n=(C_n^01+C_n^1*x^1+C_n^2*x^2+..+C_n^n*x^n)](https://tex.z-dn.net/?f=%281%2Bx%29%5En%3D%28C_n%5E01%2BC_n%5E1%2Ax%5E1%2BC_n%5E2%2Ax%5E2%2B..%2BC_n%5En%2Ax%5En%29)
запишем эту сумму для n+1
![(1+x)^{n+1}=(1+x)*(1+x)^n=](https://tex.z-dn.net/?f=%281%2Bx%29%5E%7Bn%2B1%7D%3D%281%2Bx%29%2A%281%2Bx%29%5En%3D)
![=(1+x)*(C_n^01+C_n^1*x^1+C_n^2*x^2+..+C_n^n*x^n)=](https://tex.z-dn.net/?f=%3D%281%2Bx%29%2A%28C_n%5E01%2BC_n%5E1%2Ax%5E1%2BC_n%5E2%2Ax%5E2%2B..%2BC_n%5En%2Ax%5En%29%3D)
раскроем скобки
![=(C_n^01+C_n^1*x^1+C_n^2*x^2+..+C_n^n*x^n)+ +x*((C_n^01+C_n^1*x^1+C_n^2*x^2+..+C_n^n*x^n)) ](https://tex.z-dn.net/?f=%3D%28C_n%5E01%2BC_n%5E1%2Ax%5E1%2BC_n%5E2%2Ax%5E2%2B..%2BC_n%5En%2Ax%5En%29%2B+%0A%0A%2Bx%2A%28%28C_n%5E01%2BC_n%5E1%2Ax%5E1%2BC_n%5E2%2Ax%5E2%2B..%2BC_n%5En%2Ax%5En%29%29%0A%0A)
![(C_n^01+C_n^1*x^1+C_n^2*x^2+..+C_n^n*x^n)+ +((C_n^01*x+C_n^1*x^2+C_n^2*x^3+..+C_n^n*x^{n+1})) ](https://tex.z-dn.net/?f=%28C_n%5E01%2BC_n%5E1%2Ax%5E1%2BC_n%5E2%2Ax%5E2%2B..%2BC_n%5En%2Ax%5En%29%2B+%0A%0A%2B%28%28C_n%5E01%2Ax%2BC_n%5E1%2Ax%5E2%2BC_n%5E2%2Ax%5E3%2B..%2BC_n%5En%2Ax%5E%7Bn%2B1%7D%29%29%0A)
соберем подобные слагаемые:
![C_n^01+x(C_n^1+C_n^0)+x^2(C_n^1+C_n^2)+...x^n(C_n^{n+1}+C_n^n)+x^{n+1}(C_n^n)](https://tex.z-dn.net/?f=C_n%5E01%2Bx%28C_n%5E1%2BC_n%5E0%29%2Bx%5E2%28C_n%5E1%2BC_n%5E2%29%2B...x%5En%28C_n%5E%7Bn%2B1%7D%2BC_n%5En%29%2Bx%5E%7Bn%2B1%7D%28C_n%5En%29)
теперь правило
![C_n^n+C_n^{n-1}=C_{n+1}^n; C_{n}^n=C_{n+1}^{n+1}](https://tex.z-dn.net/?f=C_n%5En%2BC_n%5E%7Bn-1%7D%3DC_%7Bn%2B1%7D%5En%3B+C_%7Bn%7D%5En%3DC_%7Bn%2B1%7D%5E%7Bn%2B1%7D)
преобразуем нашу сумму:
![C_n^01+x(C_{n+1}^1)+x^2(C_{n+1}^2)+...x^n(C_{n+1}^{n})+x^{n+1}(C_{n+1}^{n+1})=](https://tex.z-dn.net/?f=C_n%5E01%2Bx%28C_%7Bn%2B1%7D%5E1%29%2Bx%5E2%28C_%7Bn%2B1%7D%5E2%29%2B...x%5En%28C_%7Bn%2B1%7D%5E%7Bn%7D%29%2Bx%5E%7Bn%2B1%7D%28C_%7Bn%2B1%7D%5E%7Bn%2B1%7D%29%3D)
![= \Sigma_{k=0}^{n+1}(C_{n+1}^k*x^k)](https://tex.z-dn.net/?f=%3D+%5CSigma_%7Bk%3D0%7D%5E%7Bn%2B1%7D%28C_%7Bn%2B1%7D%5Ek%2Ax%5Ek%29)
Что и требовалось доказать
Дополнительно докажу:
![C_n^p+C_n^{p+1}=C_{n+1}^{p+1} ](https://tex.z-dn.net/?f=C_n%5Ep%2BC_n%5E%7Bp%2B1%7D%3DC_%7Bn%2B1%7D%5E%7Bp%2B1%7D%0A%0A)
Цены завышены на 100%, соответственно Аристарх обедает в два раза меньше,т.е. 6/2=3, но не забываем то, что на обед уходит 3/4 стипендии, значит, у него остается 1/4 стипендии. За оставшуюся стипендию он и будет обедать.
Ответ:4
Пусть х(м) ширана прямоугольника, тогда х+2 (м) его длина. Превоначальная площадь прямоугольника х*(х+2)=х^2+2x (м).
(х+3)(х+8+2)=3(х^2+2x)
(x+3)(x+10)=3x^2+6x
x^2+13x+30=3x^2+6x
2x^2-7x-30=0
Сократим на 2
x^2-3,5x-15=0
Решим квадратное уравнение
D=12,25+60=72,25
![\sqrt{D}=8,5](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%7BD%7D%3D8%2C5)
![x_{1}=\frac{-3,5+8,5}{2}=\frac{5}{2}=2,5](https://tex.z-dn.net/?f=x_%7B1%7D%3D%5Cfrac%7B-3%2C5%2B8%2C5%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D%3D2%2C5)
не удовлетворяет условию задачи.
2,5+2=4,5 (м)
Ответ: 2,5м и 4,5м