Question

Прямая удалена от начала координат на расстояние . Найти значение .

Answer 1

Прямая АО ⊥ прямой y = kx + 4, значит угловой коэффициент прямой AO
равен $- \frac{1}{k}$.
Уравнения всех прямых перпендикулярных данной имеют вид
$y = - \frac{1}{k} x+b$
Найдём b , для этого подставим координаты начала координат то есть точки О( 0 ; 0)
$0 = - \frac{1}{k} *0 + b$
Получаем b = 0
Найдём координаты точки А - точки пересечения прямых y = kx + 4 и
$y = - \frac{1}{k} x$
$- \frac{1}{k} x=kx+4\\\\- \frac{1}{k}x - kx = 4 \\\\x(- \frac{1}{k}-k)=4\\\\x=- \frac{4k}{ k^{2}+1 } \\\\y = \frac{4}{ k^{2}+1 }$
$A(- \frac{4k}{ k^{2}+1 } ; \frac{4}{ k^{2}+1 })$
$AO ^{2}=(0-(- \frac{4k}{ k^{2}+1 })) ^{2} +(0- (\frac{4}{ k^{2}+1 } )) ^{2}= \frac{16}{ k^{2} +1}$
$|AO|= \frac{4}{ \sqrt{ k^{2}+1 } }\\\\ \frac{4}{ \sqrt{ k^{2} +1} } = \sqrt{3} \\\\ \frac{16}{ k^{2}+1 }=3\\\\ k^{2} +1= \frac{16}{3} }\\\\ k^{2}= \frac{13}{3}$
$k =- \sqrt{ \frac{13}{3} } \\k= \sqrt{ \frac{13}{3} }$