3. 1 вариант
<span>
Дано:</span>
ABCD - прямоугольник
S равноудалена от A, B, C, D (SA = SB = SC = SD)
AB = 6 см
AD = 8 см
AS = 13 см
Найти: расстояние от S до (ABC) или SO
Решение:
S равноудалена от всех вершин прямоугольника ⇒ перпендикуляр SO (он же расстояние до плоскости ABC) попадёт в центр прямоугольника, или, иными словами, точка O - центр ABCD.
Центр ABCD - это пересечение диагоналей.
Точкой O диагонали делятся на равные части, свойство прямоугольника.
BO = OD = AO = OC
Найдём AC по теореме Пифагора:
AC = √(36+64) = √100 = 10 см
AO = AC/2 = 5 см
Как уже было сказано, SO ⊥ (ABC) ⇒ ΔASO - прямоугольный.
Найдём SO по теореме Пифагора:
SO = √(169-25) = √144 = 12 см
ОТВЕТ: 12 см.
3. 2 вариант
Дано:
ABCD - прямоугольник
S равноудалена от A, B, C, D (SA = SB = SC = SD)
AB = 12 см
BC = 16 см
Расстояние от S до (ABC) или SO = 24 см
Найти: SA
Решение:
Аналогично с первой задачей S равноудалена от всех вершин прямоугольника ⇒ перпендикуляр SO попадёт в центр прямоугольника.
Найдём диагональ AC по теореме Пифагора:
AC = √(144+256) = √400 = 20 см
AO = AC/2 = 10 см
ΔASO - прямоугольный ⇒ По теореме Пифагора находим AS:
AS = √(576+100) = √676 = 26 см
Ответ: 26 см
4. 1 вариант
Дано:
DA ⊥ (ABC)
∠ADC = ∠ADB
Доказать, что ∠DCB = ∠DBC
Доказательство:
DA⊥(ABC) ⇒ DA⊥AB и DA⊥AC ⇒ ΔDAB и ΔDAC - прямоугольные ⇒ ∠DAB = ∠DAC = 90°
Рассмотрим ΔDAB и ΔDAC
1. DA - общая
2. ∠ADB = ∠ADC - по условию
3. ∠DAC = ∠DAB - из решения
Отсюда следует, что ΔDAB = ΔDAC (2 признак) ⇒ DC = DB
DC = DB ⇒ ΔDBC - равнобедренный ⇒ ∠DCB = ∠CBD.
Что и требовалось доказать.
4. 2 вариант
Дано:
DA ⊥ (ABC)
∠DBA = ∠DCA
Доказать, что ∠DBC = ∠DCB
Доказательство:
DA⊥(ABC) ⇒ DA⊥AB, DA⊥AC ⇒ ΔDAB и ΔDAC - прямоугольные ⇒ ∠DAB = ∠DAC = 90°
∠ADB = 90° - ∠DBA
∠ADC = 90° - ∠DCA
Так как ∠DBA и ∠DAC равны, справедливо утверждать, что ∠ADB = 90° - ∠DCA, а следовательно ∠ADC = ∠ADB
Рассмотрим ΔDAB и ΔDAC:
1. DA - общая
2. ∠ADC = ∠ADB - из решения
3. ∠DAB = ∠DAC - из решения
Отсюда следует, что ΔDAB = ΔDAC по второму признаку.
Из равенства следует, что DB = DC как соответствующие элементы равных треугольников.
DB = DC ⇒ ΔDBC - равнобедренный ⇒ ∠DBC = ∠DCB
Что и требовалось доказать.
Ответ:
x = 8√3;
y = 4√3.
Пошаговое объяснение:
<u>Дано</u>:
ΔABC - прямоугольный, CD - высота, AC = x, CD = y, DB = 4, ∠DCB = 30°
<u>Найти</u>: x - ?; y - ?
Рассмотрим ΔDCB - прямоугольный: ∠D - прямой, ∠C = 30°, DB = 4, y - ?
CB = 4 * 2 = 8 (катет, лежащий напротив ∠30° равен половине гипотенузы)
По теореме Пифагора:
y² = СВ² - DB²
y² = 8² - 4²
y² = 64 - 16
y² = 48
y = √48 = √(16 * 3) = 4√3
Рассмотрим ΔACD и ΔACB - прямоугольные: ∠ACB и ∠ADC - прямые
∠ACD = ∠ACB - ∠DCB
∠ACD = 90 - 30 = 60°
∠CAD = 90 - 60 = 30° (сумма острых углов в прямоугольнике равна 90°)
x = y * 2 (катет, лежащий напротив ∠30° равен половине гипотенузы)
x = √48 * 2 = 2√48 = 2 * √(16 * 3) = 8√3
Площадь ортогональной проекции равна произведению площади этого многоугольника на косинус угла между плоскостью многоугольника и его проекции. S=50:(cos 45°)=50:(√2/2)=50√2
Угол В =углу D следовательно угол СВО = 120:2=60 угол ВОС=90 угол ВСО =90-60=30
Ответ:
Объяснение:На сторонах AB и BC треугольника