6. Уравнение прямой записано в виде
![\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}n=\frac{z-z_0}p](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Bx-x_0%7D%7Bm%7D%3D%5Cfrac%7By-y_0%7Dn%3D%5Cfrac%7Bz-z_0%7Dp)
. Значит,
![\overline{m}\left\{3;\;4;\;2\right\}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Coverline%7Bm%7D%5Cleft%5C%7B3%3B%5C%3B4%3B%5C%3B2%5Cright%5C%7D)
- направляющий вектор прямой.
Уравнение плоскости задано в виде Ax+By+Cz+D=0. Значит,
![\overline{n_1}\left\{2;\;-3;\;1\right\}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Coverline%7Bn_1%7D%5Cleft%5C%7B2%3B%5C%3B-3%3B%5C%3B1%5Cright%5C%7D)
- нормальный вектор к плоскости.
Обозначим координаты нормального к искомой плоскости вектора
![\overline{n_2}\left\{\alpha;\;\beta;\;\gamma\right\}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Coverline%7Bn_2%7D%5Cleft%5C%7B%5Calpha%3B%5C%3B%5Cbeta%3B%5C%3B%5Cgamma%5Cright%5C%7D)
Этот вектор перпендикулярен векторам m и n1. Значит, их скалярные произведения равны 0.
![\begin{cases}(\overline{n_2},\;\overline{m})=0\\(\overline{n_2},\;\overline{n_1})=0\\\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}3\alpha+4\beta+2\gamma=0\\2\alpha-3\beta+\gamma=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}6\alpha+8\beta+4\gamma=0\\6\alpha-9\beta+3\gamma=0\end{cases}\Rightarrow\\\Rightarrow\begin{cases}18\beta+\gamma=0\\2\alpha-3\beta+\gamma=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\gamma=-18\beta\\2\alpha-3\beta-18\beta=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\gamma=-18\beta\\\alpha=10,5\beta\end{cases}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cbegin%7Bcases%7D%28%5Coverline%7Bn_2%7D%2C%5C%3B%5Coverline%7Bm%7D%29%3D0%5C%5C%28%5Coverline%7Bn_2%7D%2C%5C%3B%5Coverline%7Bn_1%7D%29%3D0%5C%5C%5Cend%7Bcases%7D%5CRightarrow%5Cbegin%7Bcases%7D3%5Calpha%2B4%5Cbeta%2B2%5Cgamma%3D0%5C%5C2%5Calpha-3%5Cbeta%2B%5Cgamma%3D0%5Cend%7Bcases%7D%5CRightarrow%5Cbegin%7Bcases%7D6%5Calpha%2B8%5Cbeta%2B4%5Cgamma%3D0%5C%5C6%5Calpha-9%5Cbeta%2B3%5Cgamma%3D0%5Cend%7Bcases%7D%5CRightarrow%5C%5C%5CRightarrow%5Cbegin%7Bcases%7D18%5Cbeta%2B%5Cgamma%3D0%5C%5C2%5Calpha-3%5Cbeta%2B%5Cgamma%3D0%5Cend%7Bcases%7D%5CRightarrow%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cgamma%3D-18%5Cbeta%5C%5C2%5Calpha-3%5Cbeta-18%5Cbeta%3D0%5Cend%7Bcases%7D%5CRightarrow%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cgamma%3D-18%5Cbeta%5C%5C%5Calpha%3D10%2C5%5Cbeta%5Cend%7Bcases%7D)
При
![\beta=2](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cbeta%3D2)
получим
![\overline{n_2}\left\{21,\;2,\;-36\right\}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Coverline%7Bn_2%7D%5Cleft%5C%7B21%2C%5C%3B2%2C%5C%3B-36%5Cright%5C%7D)
Чтобы найти точку М лежащую на искомой плоскости, найдём любую точку, лежащую на прямой l.
Возьмём координату x = -3.
![0=\frac{y+3}4=\frac z2](https://tex.z-dn.net/?f=0%3D%5Cfrac%7By%2B3%7D4%3D%5Cfrac+z2)
, откуда y = -3, z=0. Получили точку
![M(-3;\;-3;\;0)](https://tex.z-dn.net/?f=M%28-3%3B%5C%3B-3%3B%5C%3B0%29)
Уравнение плоскости, проходящей через точку M перпендикулярно вектору n2:
![21(x+3)+2(y+3)-36z=0\\21x+2x-36z+69=0](https://tex.z-dn.net/?f=21%28x%2B3%29%2B2%28y%2B3%29-36z%3D0%5C%5C21x%2B2x-36z%2B69%3D0)
8. Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки имеет вид
![\left|\begin{array}{ccc}x-x_1&y-y_1&z-z_1\\x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\x_3-x_1&y_3-y_1&z_3-z_1\end{array}\right|=0\\\left|\begin{array}{ccc}x-2&y+3&z-4\\-5&4&-6\\2&-2&-5\end{array}\right|=0\\(x-2)(-20-12)-(y+3)(25+12)+(z-4)(10-8)=0\\-32\cdot(x-2)-37(y+3)+2(z-4)=0\\-32x-37y+2z-55=0](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%7C%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7Dx-x_1%26y-y_1%26z-z_1%5C%5Cx_2-x_1%26y_2-y_1%26z_2-z_1%5C%5Cx_3-x_1%26y_3-y_1%26z_3-z_1%5Cend%7Barray%7D%5Cright%7C%3D0%5C%5C%5Cleft%7C%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7Dx-2%26y%2B3%26z-4%5C%5C-5%264%26-6%5C%5C2%26-2%26-5%5Cend%7Barray%7D%5Cright%7C%3D0%5C%5C%28x-2%29%28-20-12%29-%28y%2B3%29%2825%2B12%29%2B%28z-4%29%2810-8%29%3D0%5C%5C-32%5Ccdot%28x-2%29-37%28y%2B3%29%2B2%28z-4%29%3D0%5C%5C-32x-37y%2B2z-55%3D0)
Расстояние от точки до плоскости
![\delta=\frac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{\pm\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\\\delta=\frac{-32\cdot1-37\cdot(-2)+2\cdot3-55}{\sqrt{1024+1369+4}}=\frac{-7}{\sqrt{2397}}\\|\delta|=\frac7{\sqrt{2397}}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdelta%3D%5Cfrac%7BAx_0%2BBy_0%2BCz_0%2BD%7D%7B%5Cpm%5Csqrt%7BA%5E2%2BB%5E2%2BC%5E2%7D%7D%5C%5C%5Cdelta%3D%5Cfrac%7B-32%5Ccdot1-37%5Ccdot%28-2%29%2B2%5Ccdot3-55%7D%7B%5Csqrt%7B1024%2B1369%2B4%7D%7D%3D%5Cfrac%7B-7%7D%7B%5Csqrt%7B2397%7D%7D%5C%5C%7C%5Cdelta%7C%3D%5Cfrac7%7B%5Csqrt%7B2397%7D%7D)
P.S. Проверяйте, когда будете переписывать - мог и обсчитаться где.