В ΔABC проведем высоту BH. Т.к. в равнобедренном треугольнике высота проведенная к основанию является одновременно биссектрисой и медианой, то точка O - центр вписанной окружности (которая лежит на пересечении биссектрис) лежит на высоте BH.
Т.к. OH ⊥ AC, то OH - радиус вписанной окружности (r).
Из прямоугольного ΔABH по теореме Пифагора найдем высоту BH (т.к. BH и медиана, то AH = AC / 2 = 12 / 2 = 6):
Найдем площадь ΔABC:
Выразим радиус вписанной окружности из формулы S = r * p, где p - полупериметр:
Из прямоугольного ΔOHC по теореме Пифагора найдем квадрат гипотенузы:
Из прямоугольного ΔDOC по теореме Пифагора найдем гипотенузу:
Катет лежащий против угла в 30 = 1/2 гипотенузы
обозначим один катет х, другой у
составляем систем уравнений
1/2 * х * у = 512√3
х² + у² = 4х²
из второго уравнения выражаем у=х√3 и подставляем в первое
х²√3=1024√3
х=32 - один катет
у=32√3 - другой катет
Отложенные на лучах отрезки вместе отрезками, которые соединяют их концы, образуют прямоугольные треугольники с общей вершиной О, и составляют фигуру, похожую на пирамиду с высотой СО (см. рисунок приложения). <u>ВС найдем из прямоугольного ∆ ВОС</u>. Для этого по т.Пифагора найдем ВО²=ВD²-OD²=11²-(√3)²=118. По т.Пифагора ВС=√(BO²+CO²)=√(118+49)=√167≈12,9 (ед. длины)
Сделаем рисунок трапеции, обозначим ее <em><u>АВСD. </u></em>
Проведем в ней диагонали.
Из вершины С проведем прямую СК, <u>параллельную диагонали ВD.</u>
Продолжим АD вправо до пересечения с СК.
Как нередко в задачах встречается, в данном решении больше рассуждений, чем вычислений.
Так как диагонали равнобедренной трапеции равны, мы получили <u>равнобедренный треугольник АСК. </u>
АК=АD+ВС, т.к. <u>ВD и СК равны и параллельны,</u> и => <u>ВСКD - параллелограмм.</u>
Площадь трапеции <u>равна произведению ее высоты на полусумму основани</u>й.
S(ABCD)=CH*(AD+BC):2
S(АСD)= СН*(АD+DК):2
DК=ВС, <em>=> S(ABCD)=S∆(АСD) </em>
Мы доказали, что площадь треугольника АСК равна площади трапеции ABCD. Опустим из С на АК высоту СН.
СН разделила треугольник АСК на два равных прямоугольных.
Площадь каждого из них равна половине площади трапеции и равна
<em>S ⊿CHK</em>=12:2=<em>6 </em>
Из Н на СК проведём высоту НМ треугольника НСК.
НМ найдем из площади ⊿НСК
S ⊿HCK=HM*CK:2
<em>HM</em>=2S:CK HM=12:5=<em>2,4</em>
Высоту трапеции мы можем найти из ⊿СНМ, а для этого надо знать длину СМ. Применим свойство высоты прямоугольного треугольника
<em>– высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой </em>
НМ²=СМ*МК
Пусть <u>СМ=х</u>, тогда <u>МК=5-х</u>
2,4²=СМ*(5-х)²
Отсюда получим квдратное уравнение <em>х²-5х+5,76=0 </em>
Решив уравнение, найдем два корня - <em>1,8</em> и <em>3,2. </em>
<u>Длина высоты СН зависит от полусуммы оснований</u>, следовательно, о<u><em>т их длины. </em></u> Оба корня подходят.
Чтобы найти СН можно применить теорему Пифагора или свойство катета прямоугольного треугольника
<em>– катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой </em>
<u>Вариант 1) </u>
СМ=1,8, и тогда <em>высота СН</em> =√СМ*СК=√(1,8*5)=√9=<em>3</em>
<u>вариант 2) </u>
СМ=3,2, и тогда <em>СН</em>=√(3,2*5) =√16=<em>4 </em>
