Question

Дано треугольник авс о центр вписанной окружности

Answer 1

В ΔABC проведем высоту BH. Т.к. в равнобедренном треугольнике высота проведенная к основанию является одновременно биссектрисой и медианой, то точка O - центр вписанной окружности (которая лежит на пересечении биссектрис) лежит на высоте BH.

Т.к. OH ⊥ AC, то OH - радиус вписанной окружности (r).

Из прямоугольного ΔABH по теореме Пифагора найдем высоту BH (т.к. BH и медиана, то AH = AC / 2 = 12 / 2 = 6):

$BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$

Найдем площадь ΔABC:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}*AC*BH=\frac{1}{2}*12*8=48$

Выразим радиус вписанной окружности из формулы S = r * p, где p - полупериметр:

$p=\frac{AB+BC+AC}{2}==\frac{12+10+10}{2}=16\\r=\frac{S}{p}=\frac{48}{16}=3$

Из прямоугольного ΔOHC по теореме Пифагора найдем квадрат гипотенузы:

$OC^2=OH^2+CH^2=3^2+6^2=45$

Из прямоугольного ΔDOC по теореме Пифагора найдем гипотенузу:

$DC=\sqrt{OC^2+OD^2}=\sqrt{45+1}=\sqrt{46}$