Question

Площадь боковой поверхности конуса равна 65 см2 , а его образующая равна 13 см. Найдите объем конуса.

Answer 1

1) Площадь боковой поверхности конуса равна 65 см² , а его образующая равна 13 см. Найдите объем конуса.

$S_{bok}=65$ см²
$SO-$ высота
$SA$ и $SB-$ образующие конуса
$L=SA=SB=13$ см
$V-$ ?
$V= \frac{1}{3} S_{ocn}*h$
$S_{ocn}= \pi R^2$
$V= \frac{1}{3} \pi R^2h$
$S_{bok}= \pi RL$
$\pi RL=65$
$\pi R*13=65$
$R= \frac{65}{13 \pi }$
$R= \frac{5}{ \pi }$
Δ $SOB-$ прямоугольный
по теореме Пифагора найдем высоту SO:
$SO^2=SB^2-OB^2$
$SO^2=13^2-( \frac{5}{ \pi }) ^2$
$SO^2=169-\frac{25}{ \pi ^2}$
$SO^2=\frac{169 \pi ^2-25}{ \pi ^2}$
$SO= \sqrt\frac{169 \pi ^2-25}{ \pi ^2}}$
$SO=\frac{ \sqrt{169 \pi ^2-25} }{ \pi }}$

$V= \frac{1}{3} \pi *( \frac{5}{ \pi } )^2*\frac{ \sqrt{169 \pi ^2-25} }{ \pi }}$
$V= \frac{1}{3} \pi *\frac{25}{ \pi^2 } *\frac{ \sqrt{169 \pi ^2-25} }{ \pi }}$
$V=\frac{25 \sqrt{169 \pi ^2-25} }{ 3\pi^2 }}$

Ответ: $\frac{25 \sqrt{169 \pi ^2-25} }{ 3\pi^2 }}$ см³

2) Площадь боковой поверхности конуса равна 65π см² , а его образующая равна 13 см. Найдите объем конуса.

$S_{bok}=65 \pi$ см²
$SO-$ высота
$SA$ и $SB-$ образующие конуса
$L=SA=SB=13$ см
$V-$ ?
$V= \frac{1}{3} S_{ocn}*h$
$S_{ocn}= \pi R^2$
$V= \frac{1}{3} \pi R^2h$
$S_{bok}= \pi RL$
$\pi RL=65 \pi$
$\pi R*13=65 \pi$
$R= \frac{65\pi}{13 \pi }$
$R=5$
Δ $SOB-$ прямоугольный
по теореме Пифагора найдем высоту SO:
$SO^2=SB^2-OB^2$
$SO^2=13^2-5^2$
$SO^2=169-25$
$SO^2=144$
$SO=12$

$V= \frac{1}{3} \pi *5^2*12$
$V= \frac{1}{3} \pi *25*12$
$V=100 \pi$  см³

Ответ: 100π  см³