Question

Углы при вершинах A и B треугольника АВС равны 75 и 45 градусов., АА1 И ВВ1- высоты. касательная в точке С к окружности, описанной около треугольника А1В1С , пересекается с АА1 в точке К. известно, что СК=а. найдите радиус окружности, описанной около АВС.

Answer 1

∠С=180°-∠А-∠B=60°.
AB=√2AA1, т.к. ∠ABC=45°. 
AA1=CA1√3, т.к. ∠CAA1=75°-45°=30°.
Пусть AA1 и BB1 пересекаются в F, тогда CF⊥AB (т.к. AA1 и BB1 - высоты), значит ∠BCF=90°-45°=45°, откуда ∠KCB=90°-BCF=45°,
т.е.CA1=CK/√2=a/√2. Итак AB=√2·√3·a/√2=a√3.
R=AB/(2sin∠C)=a√3/(2·√3/2)=a.