<span>В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла равна половине гипотенузы, значит гипотенуза равна 24 см.
</span>Пусть угол ОАЕ равен х и равен углу ОАВ,
Тогда угол ЕОD равен углу АОВ и равен180-50=130
Угол АВО равен углу ОВD и равен 180-130-х= 50-х,
Угол АОЕ равен углу ВОD =50, угол ВDО равен 180-50-(50-х)=80+х и угол АDС равен180-(80+х)=100-х,
Следовательно угол С равен 180-х-(100-х)=80 (градусов)
АC=4 см, потому что лежит против угла в 30 градусов. Т<span>реугольник ACD прямоугольный и по сумме углов угол ACD равен 30 град, а значит AD=1/2 AC=(1/2)*4=2 (см)</span>
Сумма величин противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°.
∠D = 180° - ∠B = 180° - 105° = 75°
Если провести общую внутреннюю касательную к этим двум окружностям, то она отсечет от треугольника со сторонами a, b, c подобный ему треугольник.Пусть эта прямая пересекает катет a и гипотенузу с.
Поскольку радиус вписанной в отсеченный треугольник окружности в √2 раз меньше радиуса окружности, вписанной в исходный треугольник, то и стороны его будут в √2 раз меньше. То есть гипотенузу с эта касательная делит на отрезки a/√2 и c - a/<span>√2;
</span>Если продлить эту касательную и катет b до их пересечения, то получится еще один прямоугольный треугольник с радиусом вписанной окружности, таким же, как у отсеченного, то есть равный ему.
b/√2 = c - a/√2; или √2 = a/c + b/c = sin(α) + cos(<span>α);
</span>решить это тригонометрическое уравнение проще простого (возведением в квадрат), но на самом деле решение сразу видно α = 45<span>°;
</span><span>Это решение было сразу очевидно, но я доказал, что других решений у задачи нет.
</span>
В треугольнике МВС по Пифагору МС=√(ВС²+ВМ²) или
МС=√(144+36)=6√5.
В треугольнике КСD по Пифагору СК=√(DС²+DK²) или
СК=√(144+36) =6√5.
В треугольнике AMK по Пифагору МK=√(AM²+AK²) или
МK=√(36+36) =6√2.
Итак, треугольник МСК - равнобедренный со сторонами
МС=КС=6√5 и МК=6√2.
