Question

Ребра правильного тетраэдра DABC равны а, к-середина BC.Найти : 1)вектор DA * вектор AK

Answer 1

Все грани правильного тетраэдра - правильные треугольники.
Высота (медиана и биссектриса) правильного треугольника со стороной а равна а√3/2.
В треугольнике DAK:
DA = a
AK = DK = a√3/2
По теореме косинусов:
DK² = DA² + AK² - 2·DA ·AK·cos∠DAK
cos∠DAK = (DA² + AK² - DK²) / (2·DA ·AK)
cos∠DAK = (a² + a²·3/4 - a²·3/4) / (2·a·a√3/2)
cos∠DAK = a² / (a²√3) = 1/√3

∠(↑DA, ↑AK) = 180° - ∠DAK
cos∠(↑DA, ↑AK) = - 1/√3

↑DA · ↑AK = |DA| · |AK|  · cos∠(↑DA, ↑AK) =
                   = a · a√3/2 · (- 1/√3) = - a²/2