Question

Высота правильной треугольной пирамиды равна 6 см. Сторона ее основания - 8√3. Вычислить длину ребра,площадь поверхности и объём пирамиды.

Answer 1

Итак, сторона основания 
a = 8√3 см
Высота
y = 6 см
Высота основания
ВФ = ВА*sin(60°) = a√3/2
Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 к 1 начиная от угла
поэтому
ВО/ОФ = 2/1
ВО = 2/3*ВФ = a/√3
ОФ = ВО/2 = а/(2√3)
---
Площадь основания
S₁ = 1/2*a²*sin(60°) = a²√3/4
---
Апофему ФХ найдём из треугольника ОФХ по т. Пифагора
ФХ² = ОХ² + ОФ²
ФХ² = h² + а²/(4*3) = h² + a²/12
ФХ = √(h² + a²/12)
---
Площадь одной боковой грани
S₂ = 1/2*АС*ФХ = 1/2*a*√(h² + a²/12)
Полная площадь
S = S₁ + 3S₂ = a²√3/4 + 3/2*a*√(h² + a²/12) 
Подставим значения
S = (8√3)²√3/4 + 3/2*8√3*√(6² + (8√3)²/12)
S = 64*3√3/4 + 3*4√3*√(36 + 64*3/12)
S = 16*3√3 + 12√3*√(36 + 16)
S = 48√3 + 12√3*2√13
S = 48√3 + 24√39 см²
---
Боковое ребро найдём по т. Пифагора из треугольника ВОХ
ВХ² = ВО² + ОХ²
ВХ² = (a/√3)² + h²
ВХ² = a²/3 + h²
BX = √(a²/3 + h²)
Подставляем числа
BX = √((8√3)²/3 + 6²) = √(64+36) = √100 = 10 см
Это боковое ребро
---
Объём
V = 1/3*S₁*h 
V = 1/3*a²√3/4*h = a²h/(4√3)
V = (8√3)²6/(4√3) = 192*√3/2 = 96√3 см³