Решение
1) Докажем, что ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁
составим пропорцию:
т.к. стороны пропорциональны, следовательно ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁ по 3 признаку.
2) т.к. ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁, следовательно углы треугольников равны
∠А=∠А₁=80°;
∠В=∠В₁=40°
∠С=∠С₁=180°-(∠А+∠В)=180°-(80°+40°)=60°
Т.к. ЕМ- биссектриса, то угол ДЕМ=МЕF=140/2=70 град. Сл-но угол ВСЕ= углуМЕF=70 град. Эти 2 угла являются соответственными при прямых ДС и МЕ с секущей СЕ. Есть теорема если при пересеччении 2 прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. Значит ДС параллельна МЕ.
Ну как-то так))))))))))))))))))))))))))))))))
АЕ = ЕС ⇒ ∠ЕАС = ∠ЕСА, обозначим их α.
Пусть АВ = а, тогда АС = 2а.
Биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Тогда
ВЕ:ЕС = АВ:АС = 1:2
Пусть ВЕ = х, тогда ЕС = EA = 2х.
В ΔЕАС по теореме косинусов для угла ЕАС:
cosα = (AE² + AC² - EC²)/(2AE·AC)
cosα = (4x² + 4a² - 4x²)/(8ax) = a/(2x)
В ΔВАЕ по теореме косинусов для угла ВАЕ:
cosα = (AB² + AE² - BE²)/(2AB·AE)
cosα = (a² + 4x² - x²)/(4ax) = (a² + 3x²)/(4ax)
(a² + 3x²)/(4ax) = a/(2x)
a² + 3x² = 2a²
a² = 3x²
a = x√3
cosα = a/(2x) = x√3/(2x) = √3/2 ⇒ α = 30°
∠ВСА = 30°
∠ВАС = 60° ⇒ ∠АВС = 90°