<em>В равнобедренный треугольник вписан круг, центр которого удален от вершины треугольника на 102 см, а точка касания делит боковую сторону на отрезки, длины которых относятся как 8:</em><span><em>9, считая от угла при основании. </em><u><em>Найти площадь этого треугольника.</em>
</u></span>Пусть коэффициент отношения отрезков сторон будет х.
Тогда<u> отрезки боковых сторон</u> будут 8х и 9х.
По свойству отрезков касательных из одной точки к окружности<u> половина МС</u> основания треугольника равна 8х.
Выразим высоту треугольника по т. Пифагора из боковой стороны и половины основания:
ВМ²=(17х)²-(8х)²=225х²
ВМ=15х
<u>Из подобия треугольников ВМС и ВОК</u>
ВС:ВО=ВМ:ВК
17х:ВО=15х:9х
15 х ВО=153х²
ВО=10,2х
10,2х=102 см
х=10 см
Отсюда высота ВМ треугольника равна
15х=15<span>·</span>10=150 см
Основание АС=160 см
S Δ АВС=ВМ·АС:2=150·160:2=1200 см²
Здесь 2 подобных треугольника: АВС и КВМ.
Стороны ВК и ВА относятся как 2 : (2+3) = 2 : 5.
В таком же соотношении находятся и стороны КМ и АС.
Отсюда АС = (14 / 2) * 5 = 7*5 = 35.
Угол АСД равен углу ВСА = 57 градусов(диагональ в ромбе делит угол пополам). Угол ВАС = углу ВСА = 57 градусов (у ромба угол ВАД=углу ВСД). Рассмотрим треугольник АВС. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусов. Значит, угол АВС=180-57-57=66 градусов
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой f, высотой H и соединяющим их основания радиусом вписанной окружности основания r
H = f*sin(α)
f = H/sin(α)
r = f*cos(α) = H/sin(α)*cos(α) = H*ctg(α)
площадь одной боковой грани
S₁ = 1/2*a*f = 1/2*a*H/sin(α)
Площадь ромба - произведение боковой стороны на высоту к ней, высота = диаметру вписанной окружности
S₂ = a*2*r = a*H*ctg(α)
Полная площадь
S = 4*S₁ + S₂ = 2*a*H/sin(α) + a*H*ctg(α)