Отрезок прямой, соединяющей центр основания правильной треугольной пирамиды с серединой бокового ребра, равен стороне основания. Найти угол между смежными боковыми гранями пирамиды. (Ответ:
Дана <span>правильная треугольная пирамида. Примем ребро основания за 1. </span>Проведём осевое сечение пирамиды через боковое ребро. Для правильной треугольной пирамиды центр основания совпадает с проекцией вершины на основание и точкой пересечения медиан основания (а также высот и биссектрис). Заданный отрезок <span>прямой, соединяющей центр основания правильной треугольной пирамиды с серединой бокового ребра и равный стороне основания, - это медиана прямоугольного треугольника. Поэтому боковое ребро как гипотенуза в 2 раза больше этого отрезка, то есть равно 2. Проекция бокового ребра на основание равна (2/3) высоты основания или равно (2/3)*1*cos 30</span>° = (2√3)/(3*2) = √3/3. Высота основания равна: h = a*cos30° = √3/2. Косинус угла α наклона бокового ребра к основанию равен: cos α = (√3/3)/2 = √3/6. Синус этого угла равен: sin α = √(1 - (√3/6)²) = √(1-(3/36) = √33/6. Опустим перпендикуляр из середины ребра основания на боковое ребро. Это будет высота h в равнобедренном треугольнике сечения, перпендикулярном боковому ребру. Угол между его боковыми сторонами и будет искомым углом β между смежными гранями. Высота h сечения равна произведению высоты основания на синус α. h = (√3/2)*(√33/6) = √99/12 =√11/4. Боковые стороны в треугольника перпендикулярного сечения равны: в = √((а/2)² + h²) = √((1/4) + (11/16)) = √15/4. Искомый угол β между гранями находим по теореме косинусов: cos β = (√15/4)² + (√15/4)² - 1²)/(2*(√15/4)*(√15/4)) = 14/30 = 7/15. Этому косинусу соответствует угол <span><span><span>
1,085278 радиан или
</span><span>
62,18186</span></span></span>°.<span><span><span> </span></span></span> Этот же угол можно было определить через двойной угол, тангенс которого равен отношению половины стороны основания к высоте h. β = 2arc tg((1/2)/(√11/4)) = 2arc tg(2√11/11).
Судя по равности двух соответствующих сторон и одного угла, треугольники ABC и CDE равны. Значит, равны и их соответствующие углы и стороны. Таким образом, BC = CD. BC+CD = 2*BC. 2*BC = 10 BC = 5 см.