Question

В угол величиной 70 градусов вписанна окружность, которая касается его сторон в точке А и В. На одной из дуг этой окружности выбрали точку С. Найдите величину АСВ

Answer 1

Итак, все равно нужно вспомнить, что углы с вершиной на окружности, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны и они в два раза меньше центрального угла. Это показано на рис.1 и 2 разными цветами. В задаче т. С может находиться по разные стороны хорды АВ, т.е. будет 2 ответа.
смотрим рис.3
Имеем вписанную окружность, т.А и В- точки касания, АВ- хорда..
Проведем биссектрису МО.
 угол АМО=70/2=35
МАО- прямоугольный  => угол АОМ=90-35=55
т.к. треуг. АОВ равнобедр. , то угол АОВ=2*55=110, тогда угол АСВ в два раза меньше центрального АОВ, т.е. =110/2=55

см. рис. 4
теперь рассмотрим т.С по другую сторону
АОМ=55
АОВ=2*55=110
Но для этого случая центральный угол - это "большой" угол АОВ, т.е. 360-110=250
Тогда искомый будет АСВ=250/2=125
итак. два ответа - 55 и 125 градусов.
мы подошли к св-ву, что углы а и в, опирающиеся на одну и ту же хорду, но вершины которых лежат по разные стороны хорды, связаны соотношением
а+в=180

Эту задачу можно решать по-разному, это один из способов.