Question

Как решается данное показательное уравнение (см)?

Answer 1

Прежде всего попробуем разложить на простые множители число 360.

Имеем: 360 = 2^3 * 3^2 * 5.

(^ — это символ операции возведения в степень.)

Запишем наше уравнение в следующем виде:

2^(13 – x) * 3^(11 – 2x) * 5^(9 – 3x) = (2^3 * 3^2 * 5)^(x + 2)

2^(13 – x) * 3^(11 – 2x) * 5^(9 – 3x) = 2^3(x + 2) * 3^2(x + 2) * 5^(x + 2)

2^(13 – x) * 3^(11 – 2x) * 5^(9 – 3x) = 2^(3x + 6) * 3^(2x + 4) * 5^(x + 2)

Мы видим, что слева и справа у нас по произведению трёх сомножителей, каждый из который представляет собой некоторую степень. При этом основания каждого из трёх сомножителей слева и справа равны. Для равенства левой и правой частей необходимо и достаточно, чтобы помимо оснований были также равны и показатели. Нам осталось приравнять показатели степеней. Составим систему из трёх уравнений:

1) 13 – x = 3x + 6;

2) 11 – 2x = 2x + 4;

3) 9 – 3x = x + 2.

Первое уравнение: 13 – x = 3x + 6; –x – 3x = 6 – 13; –4x = –7; x = 7/4.

Второе уравнение: 11 – 2x = 2x + 4; –2x – 2x = 4 – 11; –4x = –7; x = 7/4.

Третье уравнение: 9 – 3x = x + 2; –3x – x = 2 – 9; –4x = –7; x = 7/4.

Как видите, нам удалось найти такое значение неизвестного x, которое удовлетворяет всем трём уравнениям, а значит, является решением всей системы: x = 7/4 = 1,75. Это значение икса и будет являться решением нашего исходного уравнения.

На всякий случай проверим:

2^(13 – 1,75) * 3^(11 – 2*1,75) * 5^(9 – 3*1,75) = 3855976495;

360^(1,75 + 2) = 3855976495. Сходится.

Ответ: x = 7/4 = 1,75.

Answer 2

Рассуждения примерно такие.

360 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 5. Значит

2^(13-x) * 3^(11-2x) * 5^(9-3x) = 2^(x+2) * 2^(x+2) * 2^(x+2) * 3^(x+2) * 3^(x+2) * 5^(x+2)

Т.к. правая часть не равна 0, то разделим обе части на 2^(x+2) * 2^(x+2) * 2^(x+2) * 3^(x+2) * 3^(x+2) * 5^(x+2)

2^(7-4x) * 3^(7-4x) * 5^(7-4x) = 1

30^(7-4x) = 1

7 - 4x = 0

x = 1.75

Answer 3

Разложим 360 на простейшие множители: 360=2*2*2*3*3*5=2^3*3^2*5

Проведём простейшие преобразования:

2^(13–x)*3^(11–2x)*5^(9–3x)=(2^3*3^2*5)^(x+2),

2^(13–x)*3^(11–2x)*5^(9–3x)=(2^3*(x+2))*(3^2*(x+2))*5^(x+2),

2^(13–x)*3^(11–2x)*5^(9–3x)=2^(3x+6)*3^(2x+4)*5^(x+2).

Поскольку как в целом правая часть уравнение, так и ни один из сомножителей неравны нулю, то мы имеем право разделить обе части уравнения на 2^(3x+6)*3^(2x+4)*5^(x+2). Получим:

2^(13–x-3х-6)*3^(11–2x-2х-4)*5^(9–3x-х-2)=1,

2^(7-4х)*3^(7-4х)*5^(7-4х)=1,

Так как показатели одинаковы, перемножим основания, получим:

30^(7-4х)=1. Отсюда 7-4х=0, х=7/4.

Answer 4

Такие показательные уравнения решаются путем выделения в обеих частях уравнения одинаковых сомножителей , и в дальнейшем приравнивая показатели степени при одинаковых основаниях.Представим число 360 в виде простых сомножителей :

360 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 5 = 2 ^ 3 * 3 ^ 2 *5 ^1 , тогда

2 ^ (13 - x ) * 3 ^ ( 11 - x ) * 5 ^ ( 9 - 3x ) = 2 ^ 4 * 3 ^ 2 * 5 ^1 , тогда приравниваем показатели степени при одинаковых сомножителях.

При 2 : 13 - х = 3 (х + 2 ) ,

При 3 : 11 - 2 х = 2 ( х + 2),

При 5 : 9 - 3х = 1(х + 2 ) .Но учитываем показатель степени 360 ,равный (х + 2).

13-6 =х +3х , 4х = 7 ,

11 - 4 = 2х + х , 4х = 7

9 - 2 = х + 2х , 4х =7 , что вполне верно ,иначе бы решения не было бы. То есть 4х = 7 , х = 7\4 = 1,75.Это и есть решение уравнения .

Ответ : х = 1 , 75