В современном русском языке эти два слова не являются однокоренными.
А вот что связывает оба слова, так это их происхождение.
Они имеют отношение к глаголу шёл, вернее, к его приставочному собрату, так как образованы от древнерусского слова пошьлъ, значение которого -- старинный, обычный, исконный.
Сначала о существительном пошлость и однокоренном прилагательном пошлый.
В прошлом (довольно далеком, до XVII века) словом пошлый называлось все, что совершалось в соответствии с обычаями, традициями. Это было обычным, привычным для всех, это пошло исстари, передавалось из поколения в поколение. Как же можно было не уважать, не чтить дедовские обычаи!
Это все считалось, естественно, благопристойным, благовидным.
Но ... вот наступили времена реформатора Петра I. Началась борьба, наряду с другими реформами, и со всеми старыми обычаями -- с пошлыми обычаями.
Слово ПОШЛЫЙ из благопристойного попало в разряд слов с уничижительным оттенком. Оно стало означать отсталый, простоватый, даже постылый. А в те времена считалось всё пришедшее из прежней, старой жизни некультурным,
почти неприличным. И слово из хорошего превратилось в плохое. Появилось практически новое слово в русском языке.
Слово ПОШЛИНА осталось. Кстати сказать, с ним связано слово пошлый не только этимологически.
ПОШЛЫМИ называли тех, кто вовремя и сполна уплачивал пошлину. Такие люди имели большие права.
Вот так случилось, что этимологически родственные слова имеют совершенно разные лексические значения,
что является одним из условий считать слова родственными в современном русском языке.
Да и корень у них в настоящем разный: ПОШЛИН- и ПОШЛ-.
