Предположим треугольник ABC имеет стороны a, b и c. Если соединить центр вписанной окружности D с вершинами этого треугольника, то этот треугольник разбивается на 3 треугольника ABD, BCD, ACD. Теперь, если из центра этой вписанной окружности опустить перпендикуляры к сторонам треугольника ABC, то они будут являтся высотами составляющих треугольников ABD, BCD, ACD. Все эти высоты являются радиусами вписанной окружности и равны r. Площадь треугольника ABC равна сумме площадей составляющих его треугольников ABD, BCD, ACD, а площадь каждого из них равна половине произведения основания на высоту. То есть S=ar/2 + br/2 + cr/2=r(a/2 + b/2 + c/2) = r(a + b + c)/2=rp, где p=(a + b + c)/2 - полупериметр. Что и требовалось доказать.
В 1796 году Гаусс доказал возможность построения с помощью циркуля и линейки правильного семнадцатиугольника. Впервые опубликовал построение правильного 17-ти угольника в 1825 году Йоханнес Эрхингер, следовательно Гаусс не публиковал,а только доказал возможность этого построения.
Из школьного курса геометрии вспоминается формула нахождения площади шара - S (площадь) = 4пR (в квадрате), где R в квадрате - радиус сферы (шара), а (пи) п = 3,14.
На данном сайте можно онлайн вычислить, найти площадь поверхности сферы по формуле , просто введя значение радиуса шара.
Одной диагонали недостаточно, нужна еще одна сторона или отношение сторон. Например, при отношении сторон 1 к 1, то есть квадрате, площадь будет равна половине диагонали в квадрате. Все остальные прямоугольники с такой же диагональю будут иметь меньшую площадь.
Если неизвестны стороны, а известен угол между диагональю и одной из сторон, то можно с помощью теоремы синусов вычислить стороны. Скажем угол равен 30 градусов, значит противоположная сторона равна половине диагонали, а вторая сторона равна примерно 0,86 диагонали и площадь будет равна 0,43 квадрата диагонали, то есть произведению синусов углов на диагональ в квадрате. S=sinA*sinB*D*D, где S - площадь прямоугольника, А - угол между диагональю и одной стороной, В - угол между диагональю и другой стороной, D - диагональ.
Длину катета в прямоугольном треугольнике можно выразить через синус или через тангенс противолежащего угла.
Чтобы найти длину катета в прямоугольном треугольнике, нужно умножить длину гипотенузы на синус противолежащего угла. Или умножить длину другого катета на тангенс противолежащего угла.
