Question

Известно что ctg(t-п)=-3/4 и п/2 <t< п, как решить?

а) соs 3pi/2-t

б) cos pi+t

Answer 1

Под pi у меня в решении понимается число "Пи", а знак ^ обозначает степень, то есть ^2, обозначает число в квадрате или во второй степени.

<hr />

Для начала необходимо привести функции к одному аргументу, для этого представим cos(3pi/2-t) в виде cos(pi/2+pi-t), который с учетом того, что косинус является нечетной функцией, равен -cos (t-pi-pi/2), теперь применим формулу косинуса разности и получим -(cos(t-pi)*cos(pi/2) + sin(t-pi)*sin(pi/2)). Учитывая, что cos(pi/2)=0, а sin(pi/2)=1, получим следующее равенство cos(3pi/2-t)=-sin(t-pi).

Поскольку ctg^2(t-pi)=(1-sin^2(t-pi))/ sin^2(t-pi), то по условию задачи (1-sin^2(t-pi))/ sin^2(t-pi)=9/16. Для удобства решения данного уравнения обозначим sin^2(t-pi) переменной x, и получим следующее уравнение

(1-x)/x=9/16;

x=16/25

Таким образом, sin^2(t-pi)=16/25 sin(t-pi)=+-4/5. По условию задачи pi/2<t<pi или -pi/2<t-pi<0, то есть для данного диапазона sin(t-pi) имеет единственное решение -4/5. А как мы выяснили ранее, cos(3pi/2-t)=-sin(t-pi), стало быть cos(3pi/2-t)=4/5.

Аналогично решается пункт б. cos(pi+t)=cos(t-pi+2pi)=cos(t-pi)*cos(2pi)-sin(t-pi)*sin(2pi)=cos(t-pi)

Т.к. ctg^2(t-pi)=cos^2(t-pi)/(1-cos^2(t-pi)), что равно по условию -3/4. Как и в пункте а производим те же манипуляции с заменой переменной х только теперь уже cos(t-pi), получаем в итоге cos(pi+t)=4/5.

Answer 2

Котангенс периодическая функция с периодом Пи. Если ctg(t-Пи)=-3/4, то и ctg(t)=-3/4. Возведём в квадрат, получим ctg^2(t)=9/16, cosec^2(t)=(ctg^2(t)+1)=25/16, sin^2(t)=16/25, и cos^2(t)=9/25. Поскольку Пи/2<t<Пи, то cos(t)<0, а sin(t)>0, т.е. cos(t)=-0,6, а sin(t)=0,8.

Теперь используем формулы приведения:

соs(3/2*Пи-t)=-sin(t)=-0,8.

cos(Пи+t)=-cos(t)=0,6.