Question

Какова должна быть толщина стенок медного шара, чтобы он плавал в воде?

И зависит ли ответ на этот вопрос от диаметра шара?

Answer 1

Вес полого медного шара = плотность меди x (объем шара, рассчитанный по наружному диаметру - объем шара, рассчитанный по внутреннему диаметру). Чтобы шар плавал, нужно, чтобы его вес был меньше, чем плотность воды x объем шара по внешнему диаметру. С учетом того, что плотность меди в девять раз больше плотности воды, получаем, что объем внутреннего шара должен составлять одну восьмую объема внешнего шара. Поскольку объем пропорционален кубу диаметра, разность диаметров (толщина стенки) должна составлять 0,5 диаметра шара. Примерно. Ну а абсолютная величина диаметра никакой роли не играет.

Answer 2

Ну слушайте... Задачка на уровне шестого класса. Ну может восьмого, поскольку требуется знание не только закона Архимеда, но и формулы объёма шара...

Значит, берём материал плотностью ρ (для меди, если мне не изменяет память, это 8,9). Берём шар внешним диаметром D и внутренним - d. Объём материала стенок, стало быть, - 4π/3*(D³-d³), что, надеюсь, объяснений не требует. Вес, соответственно, 4ρπ/3*(D³-8d³). Чтобы шар плавал, этот вес должен быть равен (или меньше) весу воды того же "диаметра", значит, граничное значение для внутреннего диаметра определяется из условия ρ(D³-d³)= ρ'D³ (ρ' = 1 есть плотность воды). Откуда внутренний диаметр равен D*кубический корень из (1-1/ρ). Не штука убедиться, что толщина стенок тут будет зависеть от диаметра шара, причём прямо пропорционально. И коэффициент пропорциональности равен [1-кубических корння из (1-1/ρ)]/2. Чем больше ρ (= чем плотнее материал стенки), тем ближе подкоренное выражение к 0, что вполне логично (для материала бесконечной плотности потребовалась бы стенка нулевой толщины). С другой стороны, если ρ=1 (плотность материала стенок равна плотности воды), получаем толщину стенки, равную D/2, что тоже логично (толщина стенки равна радиусу шара, то есть для внутненней полости места нет. Да и не надо).

Для меди этот коэффициент примерно равен 0,0195 - толщина стенки должна составлять примерно 1/50 (прописью: ОДНУ ПЯТИДЕСЯТУЮ) диаметра шара.

Answer 3

Пусть наружный диаметр шара равен D, а толщина s. Тогда масса меди будет Mм=(π*D^2*s)*(ро меди), а масса вытесненной воды Mв=(π*D^3/6)*(ро воды). Условие плавучести Mм<Mв. Отсюда (π*D^2*s)*(ро меди)<(π*D^3/6)*(ро воды). После сокращений остается s*(ро меди)<(D/6)*(ро воды), и после преобразований получаем: D/s<6*((ро меди)/(ро воды)). При соотношении плотностей 8,92, получаем D/s>53,52 или s<0,0187*D. Конечно использование приближённой формулы объёма меди

Vм=π*D^2*s вместо более точной Vм=(π/6)*(D^3-(D-2*s)^3)даст некоторую погрешность, но настолько упрощает вычисления и повышает наглядность, что с этим можно смириться.

Answer 4

Если диаметр полого медного шара будет в пределе стремиться к нулю, то при некотором малом диаметре шар утонет, как сплошной медный шар. При некотором большом диаметре и малой толщине стенок полый шар будет плавать. При желании можно найти величины диаметра и соответствующие толщины стенок при которых шар будет переходить из плавающего в тонущий.

Answer 5

Водоизмещение шара Vв=Пи*D^3/6. Объём полого шара v=Пи*(D^3-d^3)/6. Плотность меди 8.94 кг/л. Масса полого шара М=8,94*Пи*(D^3-d^3)/6. Чтобы полый медный шар плавал его водоизмещение должно быть больше его массы: Пи*D^3/6 > 8,94*Пи*(D^3-d^3)/6 или 8,94*d^3 > 7,94*D^3. При диаметре шара 10 см 8,94*d^3 > 7940, d > 9,7 см, а толщина стенки полого шара меньше 0,15 см.