Question

Как найти медиану треугольника в векторах?

Две стороны треугольника ABC заданы в векторах p и q: AB = 2p - q; AC = 3p + 2q.

Известно, что |p| = 3; |q| = 1; угол (p, q) = pi/3.

Нужно:

1) Найти скалярное произведение p*q. Это я примерно знаю, как сделать, но хочу послушать ваше мнение.

2) Выразить вектор BC через p и q, по возможности найти длину BC.

3) Самое интересное - найти длину медианы AM треугольника ABC.

Особенно интересует - как выразить координаты точки М? Или как выразить вектор АМ?

Как все это делать, если заданы координаты точек - я знаю, а в таком виде раньше не попадалось.

Можете помочь решить?

Answer 1

1. Скалярное произведение векторов p и q.

<p;q> = |p|*|q|*cos(p,q) = 3 * 1 * 1/2 = 1,5

2. Выразить вектор BC через p и q, найти его длину.

ВС = АС - АВ = 3p + 2q - 2p + q = p + 3q

Чтобы найти длину используем теорему косинусов:

|BC|^2 = |p|^2 + |3q|^2 - 2 * |p| * |3q| * cos(p,q) = 9 + 9 - 2 * 3 * 3 * 1/2 = 9

|ВС| = 3

3. Найти медиану АМ и её длину.

AM = АВ + ВМ

ВМ = 1/2 * ВС

АМ = 2p - q + 0,5 * p + 1,5 * q = 2,5 * p + 0,5 * q

И снова теорема косинусов:

|AM|^2 = |2,5 * p|^2 + |0,5 * q|^2 - 2 * |2,5 * p| * |0,5 * q| * cos(p,q) = 56,25 + 0,25 - 3,75 = 52,75

|AM| = 7,5

Вот примерно так. Обращайтесь, если что-то не так.

Answer 2

Ответ на первый ответ постой:

Скалярное произведение есть скаляр, равный произведению модулей на косинус угла между ними:

А=|p|*|q|*cos(p, q) = 3 *1* cos (pi/3) = 3*0,5=1,5..

Со вторыми заданиями немного сложнее:

Сначала установим условно вектор q на оси х, тогда получим, что оба вектора начинаются в 0 и имеют между собой заданный угол..

Разложим оба вектора p и q на взаимно ортогональные составляющие:

px=|p|cos (п/3)=3*0,5=1,5

py=|p|sin (п/3)=3*0,86=2,6

qx=|q|=1

qy=0

Далее согласно заданным выражениям AB = 2p - q; AC = 3p + 2q произведём вычисления для каждой спроецированной компоненты..

AB = 2p - q; AC = 3p + 2q

АВх=2*1,5-1=2

АВу=2*2,6=5,2

АСх=3*1,5+2=6,5

АСу=3*1,5=4,5

Итак, мы задали точку А(0;0), получили точки В(2;5,2) С(6,5;4,5)..

Вектор ВС задаётся точкой А и В..

Теперь всё просто: находим длину отрезка ВС по известным координатам:

|BC|=sqrt((6,5-2)^2+(5,2-4,5)^2)= 4,5..

отношение cos a=(5,2-4,5)/4,5 есть угол относительно оси абсцисс, относительно которой мы и отсчитываем угол а=81 град=1,41 рад..

Модуль и угол задают вектор ВС..

Чтобы найти длину медианы нужно найти точку М, которая делит ВС напополам 4,5/2 = 2,25..

Из подобия прямоугольного треугольника, построенного на точек М стороны

(6,5-2)/2+2 = 4,25..

(5,2-4,5)/2+4,5= 4,85..

Это координаты точки М (4,25;4,85)..

Теперь находим АМ=sqrt((4,25)^2+(4,85)^2)=6,45..

Это и есть искомая длина медианы..

Answer 3

У меня есть подозрение, что теорема косинусов неприменима в том виде, как её использовали в предложенных решениях. Сомнения насчёт взятых косинусов. Проверим непосредственно с помощью скалярных произведений полученных векторов. Считаем, что ищем диагонали параллелограмма ABDC.

1) p*q=|p||q|*cos(пи/3)=1,5 - здесь всё ясно.

Но вот дальше используем только скалярное произведение

2) BC=AC-AB=3p+2q-2p+q=p+3q. А теперь найдём |BC| не по теореме косинусов.

BC^2=BC*BC=(p+3q)(p+3q)=p^2+6pq+9q^2=9+9+9=27, BC=корень(27)=3*корень(3)

3) AD=AB+AC=5p+q, AD^2=(5p+q)*(5p+q)=25p^2+10pq+q^2=25*9+15+1=241, AD=корень(241), AM=0,5*корень(241)

И чтобы ещё раз озадачить тех, кто сомневается в применимости этого метода, прилагаю рисунок с решением аналогичной задачи