Словосочетание "тонкая ветвь" состоит из прилагательного "тонкая" и неодушевлённого существительного "ветвь", которое относится к женскому роду (спрашиваем "она чья?" - моя ветвь), склоняется по третьему типу.
<hr />
Давайте изменим по падежам сначала в форме единственного числа:
- Именительный - зададим вопрос "какая?" тонкая "что?" ветвь.
- Родительный - зададим вопрос "какой?" тонкой "чего?" ветви.
- Дательный - зададим вопрос "какой?" тонкой "чему?" ветви.
- Винительный - зададим вопрос "какую?" тонкую "что?" ветвь.
- Творительный - зададим вопрос "какой?" тонкой "чем?" ветвью.
- Предложный - зададим вопрос "о какой?" тонкой "о чём?" ветви.
А теперь просклоняем в форме множественного числа:
- Именительный - зададим вопрос "какие?" тонкие "что?" ветви.
- Родительный - зададим вопрос "каких?" тонких "чего?" ветвей.
- Дательный - зададим вопрос "каким?" тонким "чему?" ветвям.
- Винительный - зададим вопрос "какие?" тонкие "что?" ветви.
- Творительный - зададим вопрос "какими?" тонкими "чем?" ветвями.
- Предложный - зададим вопрос "о каких?" тонких "о чём?" ветвях.
В приведенном словосочетании вид подчинительной связи -- согласование, при котором главным словом (стержневым) является имя существительное друг, а зависимым -- имя прилагательное милый.
Зависимое слово должно подчиняться требованиям, исходящим от главного слова.
В данном конкретном словосочетании типа "согласование" грамматические формы (род, число, падеж) зависимого прилагательного должны предопределяться формами подчиняющего его существительного.
Существительное друг относится ко второму склонению как существительное мужского рода.
Так же склоняется и зависимое прилагательное милый.
Затруднение может вызывать лишь правописание окончания существительного друг в предложном падеже, но достаточно подобрать опорное слово и ориентироваться на него.
Что-то большое получилось у меня вступление, перейду к склонению.
В общеизвестном порядке падежей имеем:
Ко мне пришел милый друг; с улыбкой встречаю милого друга; подхожу к милому другу; встречаю с распростёртыми объятиями милого друга; обнимаемся с милым другом; всё мне нравится в милом друге.
В предложном падеже существительные второго склонения имеют окончание -е (как и опорное слово стол -- на столЕ.
Изменим по падежам словосочетание "небьющееся стекло", которое стоит в единственном числе:
Именительный спрашиваем "какое?" небьющееся "что?" стекло.
Родительный спрашиваем "какого?" небьющегося "чего?" стекла.
Дательный спрашиваем "какому?" небьющемуся "чему?" стеклу.
Винительный спрашиваем "какое?" небьющееся "что?" стекло.
Творительный спрашиваем "каким?" небьющимся "чем?" стеклом.
Предложный спрашиваем "о каком?" небьющемся "о чём?" стекле.
<hr />
Теперь просклоняем во множественном числе:
Именительный спрашиваем "какие?" небьющиеся "что?" стёкла.
Родительный спрашиваем "каких?" небьющихся "чего?" стёкол.
Дательный спрашиваем "каким?" небьющимся "чему?" стёклам.
Винительный спрашиваем "какие?" небьющиеся "что?" стёкла.
Творительный спрашиваем "какими?" небьющимися "чем?" стёклами.
Предложный спрашиваем "о каких?" небьющихся "о чём?" стёклах.
Существительное одушевленное (женского рода) имя собственное Алуа (женское казахское имя, обозначающее в переводе "восточная сладость") давайте просклоняем в форме единственного числа таким образом:
<hr />
Именительный падеж /Кто?/: Алуа;
Родительный падеж /Кого?/: Алуа;
Дательный падеж /Кому?/: Алуа;
Винительный падеж /Кого?/: Алуа;
Творительный падеж /Кем?/: Алуа;
Предложный падеж /О ком?/: Алуа.
<hr />
А далее покажем, как склоняется это же слово в форме множественного числа - Алуа:
<hr />
Именительный падеж /Кто?/: Алуа;
Родительный падеж /Кого?/: Алуа;
Дательный падеж /Кому?/: Алуа;
Винительный падеж /Кого?/: Алуа;
Творительный падеж /Кем?/: Алуа;
Предложный падеж /О ком?/: Алуа.
<hr />
Как видим, данное имя не изменяется при склонении по падежам.
Ударение в слове "протокОл" падает на последнее "о" и сохраняется во всех его формах при склонении (изменении по числам и падежам).
Во множественном числе именительного падежа правильной формой слова будет, соответственно, написание с окончанием -ы: протокОлы.
У ошибочного написания "ноги растут" из просторечного произношения с неправильным ударением. На эту тему как раз вспомнилась красноречивая сатирическая фраза: