Каково взаимное расположение прямой 4х+3у-25=0 и окружности х^2 + y^2=25?
1 ответ:
Читайте также
Позволю себе внести некоторые дополнения и изменения в рисунок автора. Современные расчетные модели не воспринимают кириллицу, это вызывает ряд сложностей.
Очевидно, что наличие разного сочетания отверстий и их пересечений повлияет на вес кубиков. Красные метки определяют нетронутые отверстия. Зеленые, мы условно примем нетронутыми, а с оставшихся отверстий будем вычитать зоны их общих объемов.
Объемы нетронутых отверстий будут следующими.
Где "А" и "а", размер куба и отверстий, соответственно.
Перейдем к объемам пересечения различных отверстий. Простыми будут следующие: куб, цилиндр и треугольная призма.
Формулы здесь и далее представлены в несобранном виде, для простоты восприятия.
Далее, пересечение двух треугольных призм, грани которых лежат в одной плоскости. Очевидно, что это будет пирамида с квадратом со стороной "а" в основании и высотой равной высоте треугольника.
Переходим к более "вкусненькому". Пересечение двух треугольных призм, когда одна из них повернута относительно оси на 180 градусов. Проблема в том, что оси этих призм совпадают, а их центр находится на 2\3 высоты треугольника от вершины. При пересечении они будут выступать одна из другой.
Фигура их пересечения получится несколько специфическая. В верхнем и нижнем ее основаниях будут два одинаковых прямоугольника, развернутых на 90 градусов. Размеры указаны на чертеже.
На первый взгляд фигура довольно проблематичная для определения объема. Попробуем рассуждать, если бы мы хотели вычислить ее объем путем интегрирования, нам бы пришлось определить зависимость площади секущего сечения от положения самой плоскости. В зависимости от ее положения, короткая сторона прямоугольника будет увеличиваться по определенной зависимости. Длинная сторона будет сокращаться по той же зависимости. В результате площадь любого сечения будет неизменна. Это значит что объем этой фигуры вычисляется по формуле параллелепипеда.
На десерт остается пересечение цилиндра с треугольной призмой.
Объем этого пересечения будет равен объему цилиндра длиной h от которого нужно вычесть объем двух клинышек, которые в технике называются цилиндрическим копытом.
Подробно расчет объема цилиндрического копыта рассмотрен на этой странице.
Воспользуюсь ранее полученной формулой, адаптированной под нашу задачу.
Далее распишем объемы кубиков. Порядковый номер скобки в сплошной нумерации соответствует обозначению отверстия на рисунке.
Примем размер куба равный единице и получим результат.
Получается, что кубики изначально стояли правильно.
Для начала проведём оси координат так, чтобы две из имеющихся точек лежали на этих осях.
Отрезок BD под углом Х к оси абцисс, отрезок АС под углом Y к оси абцисс, угол пересечения между отрезками AC и BD Z = X - Y
Площадь прямоугольника OPQR
S = OP * OR = (BD * sin X) * (AC * cos Y) = BD AC sin X cos (X - Z)
То есть площадь представлена в виде функции от одной независимой переменной Х, Сами отрезки и угол Z между ними заданы по условию.
Теперь ищем dS/dX = BD AC (cos X cos(X - Z)- sin X sin(X-Z) = BD AC cos(2X - Z) = 0
2X - Z = pi/2; X = (pi/2 + Z)/2
Теперь, скажем, у точки D строим угол X, через точку В проводим прямую, параллельную только что построенному лучу, из точек А и С опускаем перпендикуляры.