От существительного "утюг" образуется глагол "утюжить" (происходит чередование согласных "г-ж" в корне глагола).
От бесприставочного глагола "утюжить" легко образовать однокоренные глаголы с различными приставками, в том числе и с приставками "про-" и "на-" (проутюжить и наутюжить).
Достаточно разобраться с бесприставочным глаголом "утюжить", чтобы затем правильно писать и заданные глаголы.
Глагол "утюжь" выражает просьбу или пожелание, даже приказ и отвечает на вопрос "что сделай?"
Эти грамматические признаки указывают на форму глагола -- повелительную в числе единственном с основой на шипящий "ж".
Остается вспомнить правило, которое говорит о том, что формы повелительного наклонения глаголов с основой на шипящие "ж, ч, ш, щ" пишутся с мягким знаком, то есть правильно написать утюжь. Это единственное чисто, в числе множественном добавляется окончание "-те", перед которым сохраняется мягкий знак -- утюжьте.
И уж совсем естественно и понятно, что наличие приставки никоим образом не влияет на образование формы глаголов.
Так что правильно писать -- проутюжьте и наутюжьте.
Руководитель поисковой группы сказал ребятам: "Проутюжьте еще один лесной массив".
Мать советовала дочкам: "Наутюжьте свои платья, чтобы не было ни одного загиба на них".
