Словосочетание ТАКИМ ОБРАЗОМ, употребленное в качестве члена предложения, запятыми не выделяется.
Но так как оно может употребляться и в качестве вводного (а значит, не является членом предложения),
и тогда должно выделяться запятыми, то необходимо различать синтаксическую роль этого словосочетания.
Эта роль обусловлена обычно контекстом.
Проверить же можно ее путем изъятия указанного словосочетания из состава предложения.
Понятно, что если убрать вводные слова, то смысл предложения не изменяется.
При изъятии употребленного в качестве члена предложения словосочетания таким образом,
структура предложения чаще всего распадается.
Это так. НО ... не всегда предложения бывают однозначны. В некоторых случаях они бывают двузначны,
вот тогда такой прием проверки вряд ли поможет.
Например, имеем два предложения.
1) ТАКИМ ОБРАЗОМ, возникший спорный момент в игре был разрешен быстро и мирно.
2) ТАКИМ ОБРАЗОМ возникший спорный момент в игре был разрешен быстро и мирно.
Если убрать выделенное словосочетание из обоих предложений, то смысл-то не изменится.
Как быть в таком случае? Видимо, следует знать предысторию описываемого события
или смысл, заложенный самим автором текста.
В первом предложении вводное словосочетание можно заменить другим вводным словом ИТАК.
Во втором предложении обстоятельство (образа действия) можно заменить
другим словосочетанием -- таким способом, тоже членом предложения.