1)Ответ на первую задачу может не такой, но мне кажется, что тем множеством точек, равноудалённых и от первой окружности, и от второй концентрической с первой будет третья окружность , концентрическая с двумя первыми, но расположенная как бы посредине них.
То есть , если R1 ,R2.R3- радиусы трёх окружностей то радиус искомой окружности R3=(R1+R2)/2.
Тогда расстояние любой точки до 1-й окружности = расстоянию любой точки до 2-й окружности.
2)Для трёх пересекающихся прямых, которые в принципе образовывают треугольник-эта равноудалённая точка от всех прямых будет пересечение биссектрис, и центр вписанной окружности.Расстояние до любой прямой равно радиусу.
3)Скорее всего это перпендикуляр, восстановленный в этой точке на прямой. На этом перпендикуляре и будут все центры окружностей.
4)А это будет окружность радиусом равным перпендикуляру из центра окружности до середины хорды.Величина постоянная, и это даёт окружность.
Фигуры, симметричные относительно некоторой точки облядают центральной симметрией. Например, это окружность и параллелограмм. В окружности центр симметрии находится в ее центре, а у параллелограмма - в точке пересечения всех его диагоналей.
Фигуры, симметричные относительно некоторой прямой обладают осевой симметрией. У некоторых фигур может быть несколько осей симметрии. Например, у равностороннего треугольна 3 оси, у ромба - 4, а у окружности из бесчисленное множество.
Большая диагональ "D" правильного N-угольника выражается через его апофему "a" очень простой формулой: D=√(2+2a). Например, апофема правильного пятиугольника равна Cos36°, тогда D5= √(2+2Cos36°)=1,902110... .
Строим произвольный треугольник АВС с катетами а и b, гипотенузой с. Впишем в него окружность диаметром D с центром в точке О. Через точку О проведем В₁С₁||ВС .Тогда расстояние от северных ворот до дерева В₁Е = m, от южных ворот на запад - С₁А = n. Диаметр окружности D, вписанный в прямоугольный треугольник, определяется формулой
D = а + b – c (1).
Тогда согласно рисунку
b = n + D/2 (2),
с = √(а² + b²) (3),
C₁B₁ = m + D.
На сновании подобия треугольников АВС и АВ₁С₁
a/(n +D/2) = (m +D)/n, откуда
a = (n +D/2)*(m +D)/n (4).
После подстановки в формулу (1) выражений (2), (3), (4) и преобразований относительно D, получаем кубическое уравнение в общем виде
D³ +m D² - 4n²m = 0 (5).
Пусть m = 1 (единичному отрезку), тогда n = 3, согласно условию.
В результате после подстановки значений имеем
D³ + D² - 36 = 0.
Решение уравнения очевидно в данном представлении
D³ + D² = 3³ +3²,
D = 3.
Искомый диаметр города 300*3 = 900 (шагов), а треугольники АВС и АВ₁С₁египетские.
Данное кубическое уравнение не может быть решено с помощью циркуля и линейки, как и знаменитые задачи древности, трисекции угла и удвоение куба. Указанными инструментами решаются уравнения первой и второй степени.
Площади подобных фигур (ЛЮБЫХ, НЕ ТОЛЬКО ТРЕУГОЛЬНИКОВ) относятся как квадраты соответственных линейных размеров (не обязательно сторон, можно брать соотношение соответственных высот, медиан, биссектрис, диагоналей, периметров, радиусов вписанных и описанных окружностей, главное, чтобы была размерность длины).
